Oui, c'est possible et en fait ce que tu demande est plus ou moins équivalent à la recherche d'une partie de R (à savoir
)
) qui soit fermée, d'intérieur vide, mais de mesure non nulle.
L'exemple classique d'une telle partie de R est celui de des
ensembles de Cantor généralisés qui permet aisément de construire une fonction ayant les propriétés demandées :
On fixe un
et part de
qui est la fonction nulle sur [0,1].
On construit le graphe de
en partant de celui de
et en remplaçant le segment horizontal de longueur
centré au milieu de [0,1] par les deux autres cotés du triangle équilatéral qui "complètent" le segment en question (j'espère que je suis clair...)
De même, on construit le graphe de
en partant de celui de
et en remplaçant les deux segments horizontaux de longueur
centré au milieu des deux segments horizontaux du graphe de
par les deux autres cotés des triangles équilatéraux qui "complètent" ces segments.
Etc...
Il est clair que la suite
_{n\geq 0})
converge normalement vers une fonction
qui est continue, "sans plateau" (car
est fini pour
et
)
est d'intérieur vide) mais par contre elle n'est pas "de constance nulle" car
\!=\!1\!-\!s>0)
.
