Congruence au sens de Cavalieri

[Ben314]

Déjà, "ton" truc, il est pas plus simpliste que ce que je propose ou que ce que doraki propose : dans tout les cas on fait tourner le triangle et on regarde (ou on mesure) des trucs : la façon de présenter de Doraki ou la mienne mettent simplement l'accent sur notre formation de matheux : on préfère avoir une valeur "numérique" (mesure d'angles chez Doraki, longueur du segment chez moi) plutôt que de faire entièrement confiance à des dessins.
Présente "ta" méthode en disant que tu considère les deux fonction f et g qui à l'angle théta que fait la base du triangle bleu avec l'horizontale associe les deux hauteurs des lignes L1 et L2, et tu rentre ilico dans le club de ceux qui utilisent des "mots mathématiques" alors que ça ne change absolument pas le point de vue...

A mon avis, pour que 'ta' méthode marche, je pense qu'il faudrait que tu fasse faire au "petit" triangle 360 degrés (ca passe pour le grand car, comme ils ont même surface,celui qui a le plus grand coté a aussi la plus petite hauteur) : la droite L1 fait alors plusieurs aller-retours.
Reste à trouver comment placer le deuxième triangle de façon à ce que l'on soit sûr qu'à un moment L1 est sous L2 et aussi qu'à un moment elle est sur L2 (L1 est trois fois "en bas" et trois fois "en haut"...)

[LeJeu]

Ben,

Tu es limpide, tu devrais faire "prof de math.." :-)

[Ben314]

Ben,

Tu es limpide, tu devrais faire "prof de math.."

A une lointaine époque, j'y ai songé... , mais maintenant cela ne m'arrive que dans mes pires cauchemards...

[Doraki]

Ouh j'ai écrit une horreur dans ma preuve, en fait elle marche pas. ^^'
On peut parfaitement avoir a1,a2,a3 >>> b1,b2,b3 en prenant des triangles de plus en plus plats.

[Ben314]

Alors ça, moi qui te faisait confiance !
Tout ça pour dire que j'avais pas vérifié la fin de ta preuve, j'été déja bien content d'avoir compris le début...
Même avec les 6 points par où passe la courbe (fermée), on peut pas conclure ?

P.S. : En plus il m'a fallu 5 minutes pour voir qu'effectivement, deux triangles peuvent avoir même surface alors que TOUT les cotés de l'un sont plus grand que TOUT les cotés de l'autre !!!!

[Doraki]

Nan c'est vraiment pas des points qui permettent de conclure à eux seuls.
Peut-être qu'en regardant également les moments où ;) est orthogonal aux cotés, ça rajouterait des trucs, de la même manière que toi, tu trouves tes maximums/minimums à des moments différents.
Ce serait un peu plus sensé.

(J'voulais tellement que ça marche que je me suis enflammé et j'ai pas vu que je disais que sin A*sin B*sin C = 1) :/

[Ben314]

Je pense que ça doit effectivement marcher.
Le fait que l'on puisse avoir a1,a2,a3 > b1,b2,b3 incite à penser qu'il faut absolument jouer avec des max ET des min ce qui correspond à la plus grande longueur et le plus courte hauteur.

[nodgim]

Au risque de répéter, car je n'ai pas regardé les solutions déja données:
On relie par 2 cordes horizontales C1 et C2 les sommets des grandes bases des 2 triangles T1 et T2 (on peut toujours le faire). On s'arrange pour que les sommets libres soient dirigés l'un vers l'autre, et situés entre C1 et C2. On fait translater C1 (C1 et C2 restent horizontales) jusqu'à ce que les sommets libres se trouvent sur la même horizontale, ce qui est toujours possible puisque les sommets libres pivotent dans des sens contraires.
Quand on a trouvé cette position, on trace d horizontale qui relie les 2 sommets libres. On pose que le segment d dans T1 est B1 et d dans T2 est B2, et que H1 est la distance d-B1 et H2 la distance d-B2.
On a alors aire deT1 A1=B1(H1+H2)/2 et A2=B2(H1+H2)/2 donc si A1=A2 on a B1=B2=B
et aussi B1H1=B2H1 et B1H2=B2H2.
Ensuite, pour l'égalité des segments élémentaires pour tout segment entre C1 et C2: Thalès ou autre..

[LeJeu]

Au risque de répéter, car je n'ai pas regardé les solutions déja données:

J'ai dans un post précédent fait le dessin de ce que tu proposes

Ben, dans le post suivant montre que l'angle "libre" peut sortir en dehors des 2 droites parallèles

Il va nous falloir affiner...

[nodgim]

Dans le dessin de Ben, les sommets libres ne sont pas orientés l'un vers l'autre, il me semble.

[Ben314]

N'étant plus sur la même machine, je n'ai plus le "dessin interactif" corespondant à la figure que j'ai posté, mais je me rapelle qu'on peut faire un exemple du même type avec un triangle bleu parfaitement isocèle, donc tel que l'orientation "l'un vers l'autre" ou "dans le même sens" ne change rien.

Je le redit (3 em fois) : vu que le résultat est vrai, vos arguments sont surement valables, le tout est de donner les bonnes dispositions de départ et les bonnes justifications pour les "il est toujours possible..." et autres "on a forcément..."

[nodgim]

Méthode:
On représente à gauche le triangle de plus petite longueur, son plus grand coté vertical, ses 2 sommets appartenant chacun à une droite horizontale basse et haute, le sommet libre dirigé vers la droite. On positionne ce sommet libre dans la partie inférieure du couloir entre les 2 droites horizontales, en retournant au besoin le triangle.
On positionne à droite le second triangle, celui le plus long, avec sa plus grande longueur inclinée nord ouest/sud est, ses 2 sommets appartenant aux 2 droites horizontales, le sommet libre dirigé vers la gauche, et situé dans la partie supérieure du couloir (on retourne au besoin le triangle).
En abaissant la droite horizontale du haut avec inclinaison du grand coté du triangle de gauche dans la direction nord ouest/ sud est, les sommets libres vont obligatoirement se retrouver sur une même ligne horizontale. Puisque celui de gauche va se déplacer continument de la partie basse du couloir vers son coté supérieur, alors que celui de droite se déplace continument de la partie haute du couloir vers son coté inférieur.
ça marche quelle que soit la forme des triangles.

[nodjim]

Une démo par la rotation des triangles.
Soient les triangles Ta et Tb, on dispose les grands cotés sur l'axe x du repère orthonormé, avec x=0 y=0 pour l'un des sommets de chaque triangle, et qui seront axe de rotation. Les points à l'autre extrémité sont A pour Ta et B pour Tb, et les 3èmes sommets sont les pts a pour Ta et b pour Tb. On choisit xA>xB et donc lyalOn observe, sur l'axe Y, ce qui se passe pendant une rotation complète de Ta et Tb lorsque yA=yB. Il faut remarquer que les 4 pts A,B,a,b tracent 4 cercles distincts, si les triangles ne sont pas isométriques, et que le + grand cercle est celui de A.
On remarque également que si Ta et Tb font un tour complet, ya et yb se croisent ou se dépassent au moins 2 fois.
Il y a solution quand yA=yB et ya=yb.
yA=yB est assuré seulement entre +yBmax et -yBmax. Si, dans cet intervalle, on a au moins une fois ya=yb c'est OK;
Si le croisement s'opère lorsque yA>yBmax, c.a.d. que le signe de (ya-yb) est identique en entrée et en sortie du secteur pendant lequel yA>yBmax, alors ce signe sera contraire pendant la phase symétrique -yA<-yBmax, et donc qu'il y a dépassement entre a et b dans l'intervalle lyAl

[nodjim]

Méthode du "vélo de clown à roues triangulaires":
Le triangle t le plus court s'appuie sur le sol sur l'un de ses cotés. On a posé sur ce triangle là et l'autre triangle T une planche qui doit toujours rester horizontale. Donc, T en principe ne repose pas sur l'un de ses cotés car alors il y aurait hauteur commune avec t et donc solution immédiate.
On fait tourner t jusqu'à ce que l'un de ses cotés repose sur la planche. Dans cette rotation, le sommet libre de t passe du sol à la planche. Pour T, le sommet libre est dans la zone intermédiaire entre sol et plafond au début et à la fin de la rotation de t, et continument présent, même si on a pu changer de sommet pendant la rotation de t en touchant le sol ou la planche. Donc à un moment donné, les sommets libres de t et T sont à la même hauteur. Ce qui est recherché pour trouver une solution.
En poussant un peu, comme on sait que chaque rotation donne une solution unique, en variant les situations de départ, on peut trouver le nombre de solutions.

[nodjim]

C'est bien 6 solutions qu'on trouve en général.
Question corollaire: A quelles conditions peut on réunir 2 triangles quelconques par 3 droites parallèles passant chacune par un sommet de chaque triangle ?

[LeJeu]

Ca me semble "presque correct", mais il y a un truc que je ne vois pas trop :
- Dans la position "de départ", L1 est confondie avec la droite rouge d'en bas et L2 est au dessus de L1 : OK (il me semble que L2 peut même être au dessus de la droite rouge du haut).
- Dans la position "d'arrivée", L1 est confondie avec la droite rouge d'en haut, mais je ne vois pas ce qui garantie que L2 soit en dessous de la ligne rouge du haut...

J'adore les vélos de clown, et je fais donc le dessin du contre exemple de Ben revisité par Nodgim

Le triangle t de plus petit périmètre s'appuie sur le sol sur l'un de ses cotés. On a posé sur ce triangle là et l'autre triangle T une planche qui doit toujours rester horizontale

Je n'ai pas l'impression que le périmetre soit une bonne condition, il me semblerait que la condition est le coté du triangle t (touchant haut et bas) est plus petit que le coté de T(touchant haut et bas)

donc le nombre de solutions est le nombre de couple possible, je dirais 9 ?

[LeJeu]

Et le dessin de la rencontre

[Ben314]

Et le dessin de la rencontre

c'est émouvant quand même, surtout si c'est la première fois...

P.S. Pour le nombre de soluce, j'ai pas regardé, mais je conjecturerais trés fort que... ça dépend des triangles...

[LeJeu]

Ben,

Ok tu chipotais sur la rigueur, la fonction, le minimum...

Mais quand même, il semblerait que l'on n'ait pas besoin dans cette proposition d'avoir deux triangles de même aire pour "réunir 2 triangles quelconques par 3 droites parallèles passant chacune par un sommet de chaque triangle ?"

Alors? on peut réécrire "TA" fonction sans supposer les aires égales????

[Ben314]

"Ma" fonction (qui est celle de la soluce du bouquin), tu as du mal à l'adapter à des triangles de surfaces différentes vu que tu utilise la surface pour paramétrer la longueur du segment.
De toute façon pour des triangles quelconques, on ne risque pas d'arriver à les "aligner" s'ils sont trop différents en taille : imagine deux triangle équilitéraux de cotés respectifs 1cm et 1m...