Conférence Sopo

[Ericovitchi]

5 amis assistent à une conférence longue et ennuyeuse. Aussi chaque amis s'est endormi puis réveillé exactement 2 fois au cours de la conférence.
Si l'on considère 2 quelconques de ces 5 amis, il y a toujours eu un moment de la conférence pendant lequel ces deux amis dormaient simultanément.

Y a-t-il eu forcément un instant de la conférence où au moins 3 des 5 amis dormaient simultanément ?

[lapras]

Sauf erreur, la réponse est oui.

[Djmaxgamer]

Oui je pense aussi : ça ne va pas plaire à leon1789 mais je trouve ce résultat par l'absurde.

Supposons qu'il n'y a aucun instant de la conférence où au moins 3 des 5 amis dormaient simultanément, et que dans ce cas, si l'on considère 2 quelconques de ces 5 amis, il y a toujours eu un moment de la conférence pendant lequel ces deux amis dormaient simultanément.
On a donc trois possibilités :
- à tout instant de la conférence, il n'y a pas plus d'une personne qui dort
- à tout instant, il y a soit une personne soit deux qui dorment en même temps
- à tout instant de la conférence, il a deux personnes qui dorment en même temps

Dans le premier cas, il est évident qu'il y a contradiction : si à tout instant une seule personne dort, alors il n'existe aucun couple de personne qui ont dormi simultanément.
Dans le troisième cas, vu que deux personnes dorment en même temps à tout instant, le nombre maximal de couples s'étant endormi en même temps, sachant que chaque personne s'est endormie et réveillée 2 fois, est inférieur strictement à 10.
ICI J'AI DU MAL A DÉMONTRER CE RÉSULTAT, je ne l'ai que constaté en faisant des essais, mais je ne vois pas comment le démontrer(ce fameux 10 :p).

L'action de considérer 2 quelconques de ces 5 amis, pour voir si il y a toujours eu un moment de la conférence pendant lequel ces deux amis dormaient simultanément est de choisir un couple de 2 éléments parmi 5, sans notion d'ordre et sans répétition. C'est donc une 2-combinaison de 5 éléments, il y a donc
Il y a donc 5 couples au maximum qui peuvent s'être endormi ensemble mais on peut définir 10 couples. Dans ce cas il existe 5 couples qui n'ont pas dormi ensemble et donc cela entraîne une contradiction.

Dans le deuxième cas, le nombre maximal de couples s'étant endormi est inférieur au troisième cas (car il peut n'y avoir qu'une seule personne endormie) on arrive donc à la même contradiction.

Dans tous les cas, il y a contradiction. Donc, par l'absurde, il y a eu forcément un instant de la conférence où au moins 3 des 5 amis dormaient simultanément.

[lapras]

Je n'ai pas eu le courage de tout lire, mais j'ai plus rapide (et plus simple je pense). (avec quelques schemas, c'est chiant à expliquer par écrit...)

[Geek-R]

Je pense qu'il y a trop peu d'information à propos de cette conférence pour tirrer des conclusions si rapidement. On ne sait pas combien de temps dure la conférence et combien de temps ont dormi ces 5 personnes ( il se peut qu'ils aient dormi 1 min ou 1 heure ! ).

Franchement, je ne vois vraiment pas comment vous pouvez savoir s'il y a ou non 3 personnes qui dorment simultanément. Sauf erreur de ma part, ce problème est tout simplement impossible à résoudre sans informations supplémentaires ( à propos du temps ).

PS : lapras , peut-tu nous montrer comment tu as pu répondre "Oui" ( j'aimerai voir ces schémas :) )

[lapras]

La durée n'a aucune importance...
On a toutes les données pour résoudre le probleme.
En gros je dis qu'une personne dort pendant deux intervalles de temps.
Je regarde les intersections des différents intervalles et je considere deux cas. si pendant qu'une personne dort il y a "trois intersections d'intervalles" et si il y en a deux. La conclusion tombe tres rapidement dans les deux cas.
j'ai pas de scanner sous la main, en plus je pars bientôt en vacances, donc pas trop le temps de faire ca sous paint.
Je souhaite de bonnes vacances à tous les membres du forum !

[Geek-R]

Tu veux dire qu'on suppose que chaque personne dort pendant un laps de temps égal ?


HS : Bonne vacance à toi ;)

[lapras]

Absolument pas.
Une personne dort pendant un intervalle de temps de la forme [a,b] où a et b sont des réels. (le temps est continue ici)
La longueur de l'intervalle n'a pas d'importance.

[Geek-R]

Ben si c'est ca , alors on peut rien dire sur le nombre de mecs qui dors en même temps :


Soit 5 personnes E , R , T , Y et U

E dors d'un intervalle [A;B] se réveille et redors de [C;D]
R dors d'un intervalle [E;F] se réveille et redors de [G;H]
T dors d'un intervalle [I;J] se réveille et redors de [K;L]
Y dors d'un intervalle [M;N] se réveille et redors de [O;P]
U dors d'un intervalle [Q;V] se réveille et redors de [W;X]

Voila , c'est donc possible que chacun dors tout seul ! Et c'est également possible que tout le monde dors ensemble.

[lapras]

Sauf qu'on a la condition que pour tout couple de deux personnes il existe une intersection d'intervalle.

[nodjim]

Peut être plus simplement.
Il faut faire 10 paires avec 5 éléments, chaque élément ne devant apparaitre que 2 fois en continu. Or, comme chaque élément apparait 4 fois, il faut découper chacun en 2-2 ou 1-3 .
Un 2-2 au début appelle un 1-3. Le 3 appelle obligatoirement un nouveau 1-3, qui appelle à son tour un 3ème 1-3 impossible à placer.

Un 3-1 au début appelle aussitôt 2 nouveaux 1-3 qu'on ne peut placer.

[Ericovitchi]

Je vois que ça vous a inspiré. Je vous donne une solution :

Supposons que pendant toute la conférence, il n'y ait jamais eu plus de deux amis qui dormaient simultanément. Les paires d'amis sont au nombre de 10. Il existe donc 10 intervalles de temps disjoints pendant lesquels deux amis dormaient simultanément. Chacun de ces 10 intervalles disjoints débute par l'instant d'endormissement d'un des 5 amis (le même ou un autre). Or comme il y a eu pendant toute la durée de la conférence exactement 10 endormissements et 10 réveils, il manque un endormissement pour qu'il y eu deux dormeurs pendant le même intervalle. On en déduit qu'il y a eu forcement un instant de la conférence où 3 des cinq amis au moins dormaient simultanément.

[nodjim]

5 amis assistent à une conférence longue et ennuyeuse. Aussi chaque amis s'est endormi puis réveillé exactement 2 fois au cours de la conférence.
Si l'on considère 2 quelconques de ces 5 amis, il y a toujours eu un moment de la conférence pendant lequel ces deux amis dormaient simultanément.

Y a-t-il eu forcément un instant de la conférence où au moins 3 des 5 amis dormaient simultanément ?

Je me disais aussi....
Les 2 dormeurs à la fin, ils se réveillent quand ?