Cône d'abondance

par **nodjim** » 22 Oct 2010, 20:34

Je propose ici une petite enigme pas méchante en rapport avec les suites:
Un cône de hauteur 1 m et de base 10 cm est dressé pointe en bas. On y jette une bille de 1mm de diamètre puis d'autres billes de diamètre toujours plus gros de telle sorte que chacune jetée dans le cône touche à la fois le cône et la bille précédente. Combien de billes peut on mettre dans ce cône si la dernière ne dépasse pas ?

par **Ben314** » 22 Oct 2010, 21:12

Si 10cm, c'est le diamètre du cercle d'en haut, je trouve l'équation :

donc je dirais qu'il en rentre 15.

par **nodjim** » 22 Oct 2010, 21:24

J'attends confirmation ou autre résultat.

par **nodjim** » 23 Oct 2010, 09:39

ça n'a pas l'air bon. Rien qu'au pif, ça ne semble pas beaucoup.

par **beagle** » 23 Oct 2010, 10:18

La bille de 1 mm tombe plus ou moins près du centre ou du bord du cone, et donc faut tenir compte de la probabilité d'où se trouve la bille pour déterminer quelle taille de deuxième bille touchera la première bille et le cone,
c'est ça?
Parce que si c'est ça , j'ai pas la solution.
et si c'est pas ça, alors j'ai pas la solution.

par **ffpower** » 23 Oct 2010, 11:39

ben rien qu'en pensant au pif, on sent qu'il va y avoir de la croissance géométrique. Et on sait qu'une suite géométrique, ça croit vite. Donc le résultat de Ben ne me semble pas absurde..

par **nodjim** » 23 Oct 2010, 12:59

On peut déja décomposer le problème en demandant le rapport littéral entre 2 diamètres de billes successives, D(n+1)/Dn en fonction de H/B (hauteur/base du cône) par exemple.

par **Imod** » 23 Oct 2010, 13:09

Les calculs ne sont pas particulièrement compliqués , mais bon , l'intérêt ? Rien que le piège des unités fait fuir au départ et une base de 10 cm , ça veut dire quoi ?

Bref , je laisse aux amateurs :zen:

Imod

par **Ben314** » 23 Oct 2010, 13:31

Les triangles rouges et bleu étant semblables, on a

c'est à dire

où

[

si

et

].
Le haut/bas de la bille est à une hauteur de

donc si deux billes de rayon

et

sont "en contact", cela signifie que

c'est à dire que

où

[

si

et

].
Le haut de la n-ième bille sera donc a une hauteur

[ ici

] et il suffit de résoudre l'inéquation

.

(j'avais "oublié" le -1 du (n-1) dans mon premier post donc ça doit plutôt faire n=16...)

Edit : en fait non, je me suis (évidement) planté dans l'application numérique : r1 n'est pas égal à 1 mais à 1/10 vu que j'ai pris les mesures en centimètres... mon troisième "essai" est donc n=39...)

par **carzou** » 23 Oct 2010, 13:42

Je trouve plutot dans les 46 billes
C'est peut etre plus compliqué si 'toucher le cone', peut se réduire à un point et non à un cercle ...

par **nodjim** » 23 Oct 2010, 16:46

Imod a écrit:une base de 10 cm , ça veut dire quoi ?

Imod

c'est le diamètre de la base.

par **nodjim** » 23 Oct 2010, 16:47

Je trouve 45, pour rester sous le mètre.

par **carzou** » 23 Oct 2010, 21:55

nodjim a écrit:Je trouve 45, pour rester sous le mètre.

Je pense que tu dois revoir tes calculs car la 46e doit tenir, il reste meme plus de 5 cm au dessus

par **nodjim** » 24 Oct 2010, 09:10

Oui!!!!!
Ce n'était pas un problème de calcul, mais de décalage de l'algorithme. C'est bien 46.

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