Concours Général 1993

[upium666]

Bonjour à tous et à toutes !

On considérera l'exercice II du concours contenu dans le fichier suivant : Lien

J'ai besoin d'aide d'abord pour la première question, je ne me suis pas encore intéressé aux autres

Soit un entier strictement positif donné.
1. Existe-t-il entiers naturels consécutifs rangés dans l'ordre croissant, vérifant :

...
+
?

La piste que j'ai suivie est celle-la :

or , alors :

Les entiers naturels sont consécutifs, alors on peut établir : , alors :
, alors
\sum_{i=0}^{2n}a_i=\sum_{i=0}^{2n}(a_0+i)[/tex]

De même :
, alors
\sum_{i=0}^{2n}a_i=\sum_{i=n+1}^{2n}(a_0+i)[/tex]


On a établie maintenant que :


et

Or
Alors (et c'est là où je commence à douter que je fais du grand n'importe quoi) :
Si l'équation suivante admet une solution entière, la condition testée dans l'énoncé est vérifiée :

alors :
Il existe entiers naturels consécutifs rangés dans l'ordre croissant, vérifant :

...
...

J'avoue bien que dans ma vie mathématique, mes démonstrations et raisonnement sont faits à l'aveuglette :
-Je ne sais pas ce que je veux, où je vais et ce que je veux démontrer/à quoi je veux arriver
-Je ne sais pas trop souvent ce que signifient mes calculs ... Tout comme là !
Je ne suis absolument pas sûr alors d'avoir répondu à la question
Je me sens à côté de la plaque

De l'aide ?

Merci

[t.itou29]

Salut !
Je sais pas si c'est bon, c'est peut etre completement faux mais si nomme k le premier terme a0, alors la somme de gauche est égale à nk+n-1 et celle de de droite à 2nk+2n-1-(nk+n-1)
Ce qui donne nk+n-1=2nk+2n-1-(nk+n-1)
nk+n-1=nk+n
Ce qui est manifestement impossible.

[t.itou29]

Salut!
Si on prend k le premier terme a0, le terme de gauche est égale à (n+1)k+n(n+1)/2 et celui de droite à (2n+1)k+2n(2n+1)/2 moins le premier c'est à dire
2(n+1)k+n(n+1)=(2n+1)k+n(2n+1) qui donne .

[MMu]

Puisque les sont consécutitfs on a

Il s'ensuit
:zen:

[Waax22951]

J'ai juste une petite question (j'essaie aussi de faire l'exercice mais je viens de poser une question sur quelque chose qui pourrait m'aider plus tard): Existe-t-il une formule pour obtenir une expression sans séries de avec , , et ?

Merci de vos futures réponses :hein:

[Nicolas.L]

Oui :lol3:

[Waax22951]

Oui :lol3:

Excuse moi je me suis trompé dans ma notation, je réécris ma formule:
avec

Désolé, je ne sais pas pourquoi j'ai écris ça, sûrement par étourderie :lol3:
Merci quand même et bonne journée ! :we:

[Nicolas.L]

Les formules existent pour tout n, on avait eu un cours un jour pour les trouver mais c'est de mémoire assez fastidieux pour n>=4..

Mais tu peux déjà retenir
et

EDIT ça devient vite assez moche, par exemple

[Waax22951]

Les formules existent pour tout n, on avait eu un cours un jour pour les trouver mais c'est de mémoire assez fastidieux pour n>=4..

Mais tu peux déjà retenir
et

EDIT ça devient vite assez moche, par exemple

En effet, c'est assez moche..!
Du coup je vais voir si ça vaut vraiment le coup de les apprendre (je pense que ma décision est déjà prise..! :lol3: ).
Existe-t-il un site qui regroupe toutes les formules ?
Si tu n'en connais pas, tu pourrais me dire le nom de ce genre de série, s'il existe, s'il te plaît ? (histoire de pouvoir en retrouver le moment venu..)

Merci pour toutes ces informations ! :we:

[Nicolas.L]

la somme des premiers cube et des premiers carré tu peux le retenir, ça sert quand même..
Pour trouver nimporte laquelle de ces formules (et bien d'autre choses encore :lol3: ), tu peux utiliser wolfram aplha par exemple
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+k%5E11 (oui là je me suis laché :p ), c'est un logiciel super bien fait, qui souvent comprend de manière surprenante ce qu'on lui demande. ( là j'ai juste ecris sum k^11 il a compris que je parlais de la série

[qelmcpc]

Ya aussi ça comme lien :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Bernoulli
Peut-être l'as-tu déjà vu...

[Waax22951]

la somme des premiers cube et des premiers carré tu peux le retenir, ça sert quand même..
Pour trouver nimporte laquelle de ces formules (et bien d'autre choses encore :lol3: ), tu peux utiliser wolfram aplha par exemple
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+k%5E11 (oui là je me suis laché :p ), c'est un logiciel super bien fait, qui souvent comprend de manière surprenante ce qu'on lui demande. ( là j'ai juste ecris sum k^11 il a compris que je parlais de la série

Merci, je m'en étais déjà servi, mais je n'avais pas pensé à l'utiliser..! :lol3:
Oui je pense que je vais les apprendre au cas où, tu as raison ! :lol3:

Ya aussi ça comme lien :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Bernoulli
Peut-être l'as-tu déjà vu...

Oui mais je n'en ai pas compris l'utilité, car je ne vois pas comment obtenir ces nombres mis à part en connaissant déjà la formule et en déduisant les coefficients.. Après il y a peut être un moyen mais je ne me suis pas renseigné ! :lol3:

Bonne nuit

[Waax22951]

Bonjour,
Je me suis renseigné et j'aimerais mettre sur ce post une formule qui permet de calculer facilement ce type de séries (étant relativement simple à retenir). Je pense que comme ça, si quelqu'un cherche un jour ce type de formules, il pourra les trouver ici sans trop se casser la tête :lol3:

Elle s'appelle "formule de Faulhaber" et se calcule de la manière suivante:
Pour tout (n; p) \in \mathbb{N^2}.

où est le k-ième nombre de Bernoulli, sauf pour qui est alors égal à )

La suite des nombres de Bernoulli est une suite de rationnels s'annulant pour tout rangs impairs différents de 0 et dont le signe alterne (On a en réalité ). Il y a de nombreuses façon de calculer ces nombres mais les formules sont suffisamment compliquées pour rendre la valeur exacte de difficile à trouver. (On peut cependant trouver ces nombres de Bernoulli facilement sur internet, il suffit alors de les retenir ou de les mettre sur une calculatrice :lol3: )


On trouve d'ailleurs une formule semblable où la valeur de est bien . Il s'agit de la formule suivante:


Voilà voilà.. En espérant aider au moins une personne.. :lol3:

[Ben314]

Salut,
En ce qui me concerne, pour retrouver la valeur des différents sommes , j'utilise "l'astuce" suivante :
Pour tout et , on a

donc



...etc...

[Luc]

En effet, c'est assez moche..!
Du coup je vais voir si ça vaut vraiment le coup de les apprendre (je pense que ma décision est déjà prise..! :lol3: ).
Existe-t-il un site qui regroupe toutes les formules ?
Si tu n'en connais pas, tu pourrais me dire le nom de ce genre de série, s'il existe, s'il te plaît ? (histoire de pouvoir en retrouver le moment venu..)

Merci pour toutes ces informations ! :we:

En effet, c'est très intéressant, et elles s'appellent les séries de Newton (officieusement)

Voir aussi ici : http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f=3&t=22665

Un exercice intéressant (posé en colle de maths sup) est de résoudre l'équation suivante d'inconnues et réels :

[Waax22951]

Salut,
En ce qui me concerne, pour retrouver la valeur des différents sommes , j'utilise "l'astuce" suivante :
Pour tout et , on a

donc



...etc...

Merci pour l'astuce ! Je pense que j'apprendrai cette formule plus simplement et plus efficacement ! :lol3:

En effet, c'est très intéressant, et elles s'appellent les séries de Newton (officieusement)

Voir aussi ici : http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f=3&t=22665

Un exercice intéressant (posé en colle de maths sup) est de résoudre l'équation suivante d'inconnues et réels :

Je présume que l'équation doit être vraie pour tout n.. :lol3:
En résultat trivial, on a et , après je n'ai pas encore vérifié que ce soit l'unique couple solution (ce dont je doute..!). :lol3:

EDIT: J'ai un peu cherché pour , j'ai trouvé que si l'équation, alors on a .. Sinon pas grand chose :lol4: