Comparaison entre Pi^e et e^3 ?

[Actuaire_YR]

C'est une question venant du concours national de 2014 en Chine.
(Équivalent au baccalauréat en France).

Comparer Pi^e et e^3, qui est plus grand? Une démonstration est demandée (pas de calculatrice)

Amusez-vous :)

[adrien69]

Erreurs de calculs non comprises, c'est le plus grand (suffit de faire des tableaux de variation et d'évaluer en 2,5)

[Actuaire_YR]

Erreurs de calculs non comprises, c'est le plus grand (suffit de faire des tableaux de variation et d'évaluer en 2,5)

Plus de détail stp

[adrien69]

Ouais mais non, je vais pas faire un tableau de variation sous LaTeX, je suis pas maso non plus !

C'est simple : tu poses

Tu dérives trois fois pour te rendre compte, en faisant successivement des tableaux de variation (on part de la troisième dérivée pour remonter), que les 3 dérivées sont décroissantes et sont négatives en 2.5, donc finalement, on a f décroissant sur ]2,5, infini[, et y a plus qu'à évaluer encore une fois en 2.51

[Le Chat]

Je n'y aurai jamais pensé.

[adrien69]

C'est le seul outil qu'on avait à disposition. Donc tu aurais bien fini par faire ça, ne t'en fais pas.

[Lostounet]

Comment peut-on comparer x^y et y^x...?

Comme ça je pourrai élever à puissance i et faire apparaitre un -1 :p je plaisante, mais sérieusement, comment comparer x^y et y^x ?

[Doraki]

En comparant ln(x)/x et ln(y)/y