Combinatoire

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
MMu
Membre Relatif
Messages: 380
Enregistré le: 11 Déc 2011, 23:43

Combinatoire

par MMu » 23 Mai 2024, 14:10

Trouver la fonction ( entiers > 0) telle que :

:frime:



Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21645
Enregistré le: 11 Nov 2009, 22:53

Re: Combinatoire

par Ben314 » 23 Mai 2024, 15:33

Salut,
Sauf erreur, (partie entière) où est le "nombre d'or".
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

MMu
Membre Relatif
Messages: 380
Enregistré le: 11 Déc 2011, 23:43

Re: Combinatoire

par MMu » 23 Mai 2024, 15:40

C’est vrai, mais pourquoi ?

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21645
Enregistré le: 11 Nov 2009, 22:53

Re: Combinatoire

par Ben314 » 23 Mai 2024, 16:25

Si on prend tes deux égalités équivalent respectivement (après de mini calculs) à et qui sont vraies vu que (avec des inégalités strictes car ).

Et pour montrer que c'est l'unique solution, il suffit de dire que, si pour tout alors pour ces là, on a ou donc est un ou (inclusif) un donc au moins une des deux formules donne la valeur de : il n'y a donc pas le choix.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

MMu
Membre Relatif
Messages: 380
Enregistré le: 11 Déc 2011, 23:43

Re: Combinatoire

par MMu » 23 Mai 2024, 22:51

Désolé , je n’ai pas été clair , ma question était comment on arrive à la solution .. mais peut être ce n’est pas important .. :frime:

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21645
Enregistré le: 11 Nov 2009, 22:53

Re: Combinatoire

par Ben314 » 24 Mai 2024, 15:06

Perso, j'ai commencé par me dire que la fonction cherchée devait être proche d'une fonction réelle telle que qui admet une solution linéaire évidente, à savoir avec . Ensuite, j'ai regardé l'écart entre et pour les premières valeurs entières (avec un tableur) et conjecturé le résultat.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

catamat
Membre Irrationnel
Messages: 1201
Enregistré le: 07 Mar 2021, 11:40

Re: Combinatoire

par catamat » 24 Mai 2024, 15:14

En plus (beaucoup plus) bourrin on peut chercher les premiers termes (une bonne vingtaine) puis voir si cela figure dans l'encyclopédie des suites OEIS
et on trouve :
https://oeis.org/A000201
On voit que cette suite intervient dans pas mal de situations pour ceux qui maitrisent l'anglais et les maths...

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21645
Enregistré le: 11 Nov 2009, 22:53

Re: Combinatoire

par Ben314 » 24 Mai 2024, 21:05

Cette suite, je la connaissait aussi du fait du théorème de je-sais-plus-qui qui dit que si sont deux irrationnels >0 alors les parties entières de et donnent une partition de .
Donc, vu que les termes qui ne sont pas dans ta suite (f(n)), c'est les parties entières de , c'est à dire en fait, les n+f(n) : tout entier naturel non nul est un f(n) ou (exclusif) un n+f(n).
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

MMu
Membre Relatif
Messages: 380
Enregistré le: 11 Déc 2011, 23:43

Re: Combinatoire

par MMu » 25 Mai 2024, 03:30

@ Ben314 : il s’agit du théorème de Beatty ... :frime:

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21645
Enregistré le: 11 Nov 2009, 22:53

Re: Combinatoire

par Ben314 » 25 Mai 2024, 10:00

Tient, à titre de mini énigme :
Est-ce la seule fonction de telle que tout soit un ou (exclusif) un ?
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

MMu
Membre Relatif
Messages: 380
Enregistré le: 11 Déc 2011, 23:43

Re: Combinatoire

par MMu » 08 Juin 2024, 16:48

Il me semble que ce n’est pas la seule.
La fonction vérifie bien la demande si j’ai bien compris la question .. :frime:

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21645
Enregistré le: 11 Nov 2009, 22:53

Re: Combinatoire

par Ben314 » 08 Juin 2024, 21:53

La question, c'est ça :
Déterminer toutes les fonctions telles que les deux ensembles et forment une partition de . (Donc constante, ça ne marche pas du tout.)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

MMu
Membre Relatif
Messages: 380
Enregistré le: 11 Déc 2011, 23:43

Re: Combinatoire

par MMu » 09 Juin 2024, 09:56

Ben314 a écrit:La question, c'est ça :
Déterminer toutes les fonctions telles que les deux ensembles et forment une partition de . (Donc constante, ça ne marche pas du tout.)

Il y a là une subtilité que je ne saisis pas , puisque pour (costante) on obtient bien la partition :!: :?:

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21645
Enregistré le: 11 Nov 2009, 22:53

Re: Combinatoire

par Ben314 » 09 Juin 2024, 12:11

Oui, c'est effectivement moi qui suis complètement à coté de la plaque : dans ma tête, B était aussi fini . . .
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

catamat
Membre Irrationnel
Messages: 1201
Enregistré le: 07 Mar 2021, 11:40

Re: Combinatoire

par catamat » 10 Juin 2024, 10:06

Ben314 a écrit:La question, c'est ça :
Déterminer toutes les fonctions telles que les deux ensembles et forment une partition de .


Bonjour
Si on prend f définie sur par
B est l'ensemble des entiers pairs non nuls et A celui des entiers impairs

mais il doit y en avoir d'autres...

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21645
Enregistré le: 11 Nov 2009, 22:53

Re: Combinatoire

par Ben314 » 10 Juin 2024, 12:39

Oui, j'ai l'impression que, tel quel, l'énoncé laisse trop de liberté. Peut-être rajouter "f injective", voire "f strictement croissante" rendrait le truc plus intéressant.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

 

Retourner vers ⚔ Défis et énigmes

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 3 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite