Combinatoire avec répétition

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maxx
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Combinatoire avec répétition

par maxx » 23 Déc 2018, 14:02

Bonjour,

J'ai un exercice de proba qui nécessite d’utilisé les combinaisons.
Cependant, je n'ai aucune idée de comment faire !

J'ai une liste de caractères {a,a,b,b,c,c}, de combien de manière différentes puis-je les agencer ?
De la même manière avec une liste {a,a,a,a,b,c} ou encore {a,a,a,a,a,b} ?

En fait, comment peut-on calculer le nombre de combinaison quand un ou plusieurs caractères se répètent et qu'il faut trouver tous les mots possibles différents ?

Merci !



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Ben314
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Re: Combinatoire avec répétition

par Ben314 » 23 Déc 2018, 14:25

Salut,
En fait, la formule "générale" est une généralisation de la formule classique donnant les coefficients binomiaux.

Commençons par du simple et bien connu : combien de mot peut on faire avec {a,a,a,a,a,b,b,b} ?
Ben la réponse est parfaitement connu de tout ceux qui ont fait au moins une fois du dénombrement dans leur vie : c'est le coefficient binomial correspondant au nombre de façon de choisir les 3 emplacement des lettres b dans le mot de 8 lettres (qui est évidement égal au nombre correspondant au nombre de façon de placer les 5 lettres a)

Ensuite, par exemple, pour {a,a,a,a,a,b,b,b,c,c}, ben il faut choisir les emplacement des a (par exemple) puis, parmi les emplacement restants, choisir les emplacement des b.
Ce qui donne . . .

Enfin, regarde ce que ça donne dans le cas général où tu as fois la lettre a ; fois la lettre b ; fois la lettre c ; jusqu'à fois une dernière lettre.
Tu constatera que ça fait un truc très simple au final (qui s'appelle un "coefficient multinomial")
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

maxx
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Re: Combinatoire avec répétition

par maxx » 23 Déc 2018, 14:57

D'accord, donc si j'ai bien compris, on commence par placer les a puis les b puis les c. Ce qui nous donne : . C'est bien ça ?

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Ben314
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Re: Combinatoire avec répétition

par Ben314 » 23 Déc 2018, 15:05

Si c'est {a,a,a,a,a,b,b,b,c,c} que tu cherche à faire, oui, c'est bien ça.
Sauf que vu tes coeff., ça correspond plutôt à :
- Placer en premier les 2 c parmi les 10 cases -> possibilités.
- Puis les 3 b parmi les 10-2=8 cases restantes -> possibilités.
- Et enfin les 5 a parmi les 10-2-3=5 cases restantes -> possibilités.

Et quelque soit l'ordre dans lequel tu procède, au final, ça te donne qui est le "coefficient multinomial" que l'on note
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

maxx
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Re: Combinatoire avec répétition

par maxx » 23 Déc 2018, 15:34

Ok, merci beaucoup !

 

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