Combien de fois un entier naturel est-il divisible par 2 ?

[charlescol]

Bonsoir,
existe-t-il un moyen SIMPLE de construire une fonction continue de N* dans N qui permette de déterminer combien de fois un entier naturel pair donné (non nul) est divisible par 2 avant de devenir impair ?

PS : il faudrait pouvoir extraire l'exposant de premier terme non nulle de la décomposition de l'entier en base 2.
J'ai déjà pu construire cette fonction de N* dans N, mais je la trouve trop compliquée (si quelqu'un a une idée pour simplifier cette somme au passage)

En représentant la fonction attendue j'obtiens les graphiques ci-dessous(je viens de m'apercevoir qu'il y a un décalage de 1 sur l'axe de abscisses mais ce n'est pas bien grave c'est juste pour imager).

Représentation pour les 60 premiers nombres :



Représentation pour les 120 premiers nombres :



On remarque bien que la fonction n'est pas périodique, et que : et même plus généralement l'existence d'une symétrie de f(x) par rapport a toute puissance de 2.

En vous remerciant d'avance,

Charles COLELLA

[lyceen95]

Le terme technique qui correspond à cette question, c'est : valuation 2adique d'un entier.

Si en cherchant avec ce nom, tu ne trouves rien, c'est qu'il n'y a rien à trouver. Tu pourras même proposer ta formule, si elle est correcte (je n'ai pas vérifié, .... il faudrait préciser les limites des 2 sommes, et le 0.02 au dénominateur me surprend vraiment)

[charlescol]

Merci pour la réponse rapide, je vais regarder ca.

Ma formule n'est pas exacte en effet, pour qu'elle soit il faudrait rajouter une partie entière inférieure au résultat et définir rigoureusement la largeur maximale de chaque gaussienne (très probablement en fonction de l'indice maximal) pour que la somme de celles-ci (celles non centrées au point étudié) ne dépasse jamais 1 afin de ne pas empiéter sur le résultat . Le 0.02 avait donc été fixé arbitrairement car cette valeur suffisait a modéliser chaque largeur de gaussienne pour les échelles représentées sur les courbes, de façon a ce que la somme chaque gaussienne non centrée au point étudié n'influe pas sur le résultat final. On pourrait peut être même pouvoir soustraire une valeur qui dépend de x au résultat afin d'éviter de faire une partie entière inférieure à f(x) mais reste à voir si la valeur exacte de la somme de l'erreur est calculable. Et enfin, on peut se contenter de sommer jusqu'à partie entière supérieure de x/2 pour la seconde somme (même moins que ca si on calcul tous les termes inutiles) dont la largeur maximale dépendra. On peut aussi se contenter de sommer jusqu'à un indice bien plus petit que x pour la première somme (à calculer aussi mais reste simple à définir).

De toute façon interpoler avec des gaussiennes pour résoudre ce genre de problèmes c'est sur que c'est loin d'être la solution la plus simple.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Je ne comprends pas bien le but dans lequel tu essaies de faire ça. Pratique ? Théorique ?
Par ailleurs, la formulation est assez curieuse : vu que est discret, toute fonction définie sur est continue.
Chercherais-tu en fait à construire une fonction de classe de dans qui interpole la valuation 2-adique sur ?

On peut procéder ainsi : soit la fonction bosse définie par pour et sinon. Alors fait l'affaire.

[charlescol]

Merci pour votre réponse, en fait je cherchais une formule/approximation (ou une piste) pour la valuation 2 adique d'un entier quelconque que je serais en mesure de simplifier lors de l'intégration dans mes calculs (style Formule de Legendre) sans forcément me retrouver à la fin avec 4 sommes d'affilée non simplifiables . J'ai bien trouvé mon bonheur dans les cours concernant l'analyse p-adique, je vais donc me renseigner sur ce sujet.
Je vous remercie pour vos pistes