Code du coffre fort...

[saluste]

On applique une méthode itérative quand on a une relation que lie a(n) à a(n-1).
a(n) est une suite de chiffres. Dans le cas de l’énigme, ce sont les chiffres qui composent le code.

On a la relation : a(n) = 2*a(n-1)+retenu(n-1)
On connaît a(1) et retenu(1).
Cela permet de calculer a(2) et retenu(2) à la première itération.
Puis, a(3) et retenu(3), et ainsi de suite toutes les valeurs de a(i).

Malheureusement, la mise en page en mode texte a complètement détruit les tableaux des itérations.
Ils se composent de 5 colonnes :
Itération : numéro de l’itération
Calcul : relation entre a(n), a(n-1) et retenu(n-1)
Résultat : résultat du calcul
Retenu : retenu du calcul
Chiffres an : le chiffre du code

[scelerat]

Bonjour,
Je vous propose la solution suivante:

Nombre du code composé de n chiffres.
Il est de la forme : anan-1an-2an-3………..a3a2a1.
Le multiplicateur est an.
le nombre permuté est a1an-1an-2an-3………..a3a2an.

J'avais compris qu'avec ces notations, il fallait trouver a1anan-1an-2..........a3a2, et non ce "nombre permute".

[saluste]

C'est juste, merci pour la remarque.
J'ai fait une erreur dans l'expression générale du nombre permuté.

Je n'ai pas fait cette erreur dans les cas particuliers ou a(n)=2 et a(n)=3.

[flight]

"20 chiffres non identiques" à mon avis ça veux rien dire !!!

[saluste]

Je pense qu'il faut comprendre "20 chiffres tous identiques".
De fait 11111111111111111111 n'est pas une solution valable.
Poutant ce nombre convient pour le décalage et la multiplication par le premier chiffre.

[Quidam]

Je propose la solution suivante : soit N le nombre en question. J’appelle X le nombre formé avec les chiffres de gauche sauf le chiffre des unités, a le chiffre des unités, b le multiplicateur (qui doit, selon l’énoncé, être aussi le chiffre de gauche de N). Soit n le nombre de chiffres de N.

L’énoncé se traduit par :



D’où :

Pour b=2, cela devient :



Comme 19 divise et ne divise pas a (qui est un chiffre, donc plus petit que 10), 19 divise donc . Ceci peut s’interpréter comme le fait que le reste de la division de par 19 est le même que le reste de la division de 2 par 19. Posons alors

Or , développement bien entendu périodique ; la période est 18.
Et , développement bien entendu périodique de période 18.

Il est donc facile de voir que

et que 17 est la première puissance de 10 qui a cette propriété d’avoir le même reste dans la division par 19 que le nombre 2 ! Compte-tenu de la périodicité du développement, on voit également que a également la même partie décimale après la virgule que , quel que soit k entier.

Prenons le cas de k=0, on a

Et

On sait par ailleurs, que le premier chiffre de X est 2 (b=2). a peut donc valoir 4 ou 5.


Pour a=4, on trouve X=21052631578947368 et N=210526315789473684
On constate bien que 2*210526315789473684=421052631578947368.

Pour a=5, on trouve X=26315789473684210 et N=263157894736842105 ; on a bien 526315789473684210=2*263157894736842105.
Cependant, ceci n’est pas une solution du problème puisque N n’a que 18 chiffres. Pour k=1, on trouvera une solution de 36 chiffres qui est également éloignée de l’expression « plus de 20 chiffres » de l’énoncé.

Pour b=3, on trouve de même :



Puis : La période est ici de 28.

Et :

Et par conséquent



Et il faut que X commence par 3 !

Donc, pour a=1 on a X=34482758620689655172413793 et N=344827586206896551724137931
et on a bien :
3*344827586206896551724137931=1034482758620689655172413793 mais on peut éventuellement vouloir ne pas retenir cette solution, à cause du zéro en tête. On peut également noter que la restriction observée par plusieurs intervenants de b à 2 ou 3 ne provient que de cela : si l'on considère que cette dernière solution est valable
[INDENT]C'est alors un nombre de 28 chiffres
3*(0344827586206896551724137931)=1034482758620689655172413793
alors d'autres solutions surviennent avec b=5, b=6, etc... [/INDENT] Je reste donc sur l'hypothèse que N ne commence pas par 0 !
Pour a=9 on a X=310344827586206896551724137 et N=3103448275862068965517241379
et on a bien 3*3103448275862068965517241379=9310344827586206896551724137

Notons enfin que tous ces nombres étant issus du développement périodique du même nombre ( pour le cas b=2 et pour le cas b=2), la pertinente remarque de Galax trouve ici une explication :

D'autres solutions :
210526315789473684210526315789473684 (le meme 2x bout à bout)
ou encore (avec 5 comme dernier chiffre)
263157894736842105, c'est d'ailleurs une séquence du precedent

[didinebdx]

Je pense qu'il faut comprendre "20 chiffres tous identiques".
De fait 11111111111111111111 n'est pas une solution valable.
Poutant ce nombre convient pour le décalage et la multiplication par le premier chiffre.

Oui, c'est bien ça qu'il fallait comprendre, le prof a par la suite, repréciser ce point, les élèves ayant eu du mal à trouver la réponse... Pour le moment, personne n'a trouver la réponse dans la classe...

De mon coté, pareil... Pas de réponse... J'essaierai de regarder ta solution Quidam, ça m'a l'air bien trouvé, et surtout bien expliqué =)

[mimi3333]

aider c koi la reponse? jsui vraiment perdu et c a rendre pour demain!!!