CNS intersection de segment

[Viko]

Bonjour,

Dans le cadre d'un projet personnel je cherche une CNS sur les coordonnées des extrémités de deux segments pour que ces dernier soient sécants je m'explique,

Pour faire simple on peut commencer par se placer dans on considère 4 points , , , et les deux segments et .

et maintenant en regardant l'ordre des coordonnées on arrive à :

et et et et sont sécants

bon maintenant c'est n'est qu'une simple CS polur arriver à une CNS il faudrait traiter tous autres les cas (tous les ordres possible pour les coordonnées) mais ça donne une intuition pour ce qu'on veut démontrer.

Le résultat final que j'aimerais obtenir est le suivant :

Soit un -ev de dimension , une base de M, (peut-être dans le futur généralisé pour un ev sur un corps ordonné quelconque mais pour définir les segments cela être plus difficile)
de coordonnées dans
de coordonnées dans
de coordonnées dans
de coordonnées dans

on définit les ensembles,



alors ssi *condition sur l'ordre des coordonnées des 4 extrémités*

je pense que la fameuse condition que je cherche est qlq chose de ce genre :

si on pose l'application défini par et et qu'on note le cardinal de l'ensemble

et ou et

alors la condition serait mais je n'arrive pas à le montrer même dans des cas simples et je ne suis pas certain que c'est exact

je pense qu'un premier pas serait de trouver la bonne CNS (je doute qu'il s'agisse de celle que j'ai proposé) on verras pour la démo aprés.

Merci d'avance pour une quelconque aide !

[Ben314]

Salut,
Je sais pas trop ce que tu bricole avec tes "conditions sur l'ordre", mais c'est très très clairement un... très très mauvais point de vue...
Pour répondre sans coup férir à la question posée, ben il suffi on ne peut plus bêtement de de résoudre le système linéaire (de n équations si on est en dimension n et avec 2 inconnues s et t)
- S'il n'a pas de solutions, les droites ne se coupent pas (donc sont parallèles ou bien non coplanaires) et les segments ne se coupent sûrement pas.
- S'il a une unique solution, les droites se coupent et le point en question est sur les deux segments à condition que la solution soit telle que s et t soient tout les deux dans [0,1]
- S'il a une infinité de solutions, les deux droites sont confondues et le système équivaut à une relation du type s=alpha.t+beta (changement de paramétrisation de la droite) et il suffit de regarder si l'intervalle [alpha,alpha+beta] rencontre ou pas l'intervalle [0,1] (là effectivement, il y a quelque tests de signe à faire, en particulier selon que alpha>0 ou <0).

[Viko]

oui bien sûr, mais ce qui m’intéresse ici ce n'est pas de trouver les points d'intersection (à vrai dire je m'en fiche puisque à terme mon but et de les éliminer) mais de trouver une CNS pour qu'ils existent ou non.

ce qui revient à trouver une CNS pour que le système linéaire que tu proposes soit compatible