Cinq numéros

[Dacu]

Bonjour à tous,

Un problème de 5eme classe:

Trouver:

a) le plus grand nombre naturel qui est le plus grand diviseur commun de cinq naturels numéros différents de zéro ayant somme 2016;
b) le plus petit nombre qui est le plus petit multiple commun de cinq naturels numéros différents de zéro ayant somme 2016.

Cordialement!

[beagle]

en cinquième, hum, my god!
bon ben pour le a)
ce nombre fois (1+2+3+4+5) = 2016, je peux pas faire moins que le 15 pour qu'ils soient différents,
sauf que y a pas de multiple de 5, donc faut passer à somme des 5 trucs fait 16.
et le a) devient 2016/16

et là on a regagné 20 places PISA!

[chan79]

salut
le pgcd cherché divise 5 nombres dont la somme est 2016 donc il divise 2016
336 est le pgcd de 336, 336, 336 , 336 et 672
336+336+336+336+672=2016

[Dacu]

salut
le pgcd cherché divise 5 nombres dont la somme est 2016 donc il divise 2016
336 est le pgcd de 336, 336, 336 , 336 et 672
336+336+336+336+672=2016

Salut,
Comment vous avez calculé les numéros 336,336,336,336 et 672?
Et le ppmc?

[Dacu]

Bonjour à tous,

Mon raisonnement:

a) Soit le plus grand nombre naturel qui est le plus grand diviseur commun , alors nous pouvons écrire:
, , , et où avec et alors .Parce que doit être le plus grand nombre naturel et alors la somme doit être minimum , ce qui signifie que et et il résulte que et .
b) Soit le plus petit nombre naturel qui est le plus petit multiple commun , alors nous pouvons écrire:
, , et .Parce que doit être le plus petit nombre naturel et alors la somme doit être maximum , ce qui signifie que et et il résulte que et .

Cordialement!

[chan79]

le PPCM de 448, 448, 448, 448 et 224 est 448
448+448+448+448+224=2016

[Dacu]

le PPCM de 448, 448, 448, 448 et 224 est 448
448+448+448+448+224=2016

Salut,

Je ne comprends pas! S'il vous plaît , je voudrais voir vos calculs.

Merci beaucoup!

[chan79]

si et et il résulte que et .

[Dacu]

si et et il résulte que et .

Bonsoir,

J'ai révisé mon raisonnement et je comprends votre raisonnement! Vous avez tout à fait raison!Je pensais mal que , fait qui est non obligatoire dans ce cas.

Merci beaucoup!Bonne soirée!

[zygomatique]

sauf que :

1/ à priori on travaille avec des entiers

2/ il est demandé cinq entiers distincts (pour les deux questions)

...

[chan79]

j'ai compris qu'on demande cinq entiers naturels différents de 0
pour la question a):
336 est le pgcd de 336, 336, 336 , 336 et 672
pour la question b):
448 est le PPCM de 448, 448, 448, 448 et 224

[Dacu]

Bonjour à tous,

Dans le cas b) , le raisonnement correct est:

b) Soit le plus petit nombre naturel qui est le plus petit multiple commun , alors nous pouvons écrire:

, , et .Parce que doit être le plus petit nombre naturel alors la somme doit être maximum , ce qui signifie que et et il résulte que et .

Remarque:

1) ne peut pas être égal avec parce que serait fractionnaire
2) ne peut pas être ne peut pas être plus grand que parce que doit être le plus petit nombre naturel et dans le cas on obtient que .

Cordialement!

[beagle]

comme zygomatique j'avais lu "différents" tout court,
lecture trop rapide ou bien rajout secondaire de "différents de zéro"???

[chan79]

Pour le a) j'avais fait ça: (proche de ce qu'à fait Dacu)
Il s'agit donc de trouver 5 entiers naturels, tous non nuls, de somme 2016, tels que leur PGCD soit maximum.
Ce PGCD divise donc 2016.
Les plus grands diviseurs de 2016 sont 288, 336, 504, 672, 1008, 2016
Essayons 288
Les 5 nombres sont de la forme 288a, 288b, 288c, 288d et 288e
En les ajoutant
288(a+b+c+d+e)=2016
a+b+c+d+e=7
on a des possibilités, par exemple a=b=c=1 et d=e=2
Les cinq nombres sont 288, 288, 288, 576 et 576
Essayons 336
on arrive à
336(a+b+c+d+e)=2016
a+b+c+d+e=6
si on ne tient pas compte de l'ordre, on a 1 possibilité
a=b=c=d=1 et e=2
Les cinq nombres sont 336,336,336,336,672
Essayons 504
on arrive à
a+b+c+d+e=4
impossible car les cinq nombres doivent être non nuls.
Avec 672, 1008 et 2016, ça ne va pas non plus.
Le pgcd demandé est 336.

[beagle]

euh,
5 nombres : PGCD xa, PGCDxb, PGCDXc, PGCDxd,PGCDxe

somme des 5 nombres = 2016
si PGCD en facteur commun
PGCD x (a+b+c+d+e) = 2016

PGCD max quand (a+b+c+d+e) minimimal
pour des entiers non nuls le minimum est à 1, ce qui donnerait 5
sauf que 5 ne divise pas 2016
donc on passe à minimal = 6 qui divise 2016
PGCD max = 2016/6

Pour des nombres différents, le cas que j'avais traité:
minimal = 1+2+3+4+5 = 15
marche pas idem
on passe à 16
PGCD max = 2016/16

[chan79]

salut beagle
oui, ce que tu as fait est plus concis
Dacu a fait à peu près pareil
je me suis compliqué la vie
Bonne semaine
A+

[beagle]

salut chan79,
tu as déplacé le fil qui était au forum collège,
tu sais si "de zéro" a été rajouté ultérieurement?

[chan79]

je ne sais pas
Pour ma part, je n'ai pas fait de modif
Dacu voudra bien nous informer, je pense

[Dacu]

je ne sais pas
Pour ma part, je n'ai pas fait de modif
Dacu voudra bien nous informer, je pense

Salut,

Jamais je ne l'ai pas changé l'énoncé du problème!Vous avez résolu le problème correctement!

Cordialement!

[beagle]

Ok lu trop vite alors.
Comme tous ces élèves qui foncent tète baissée après avoir lu les 3 premiers mots ...ah, ah!