Chute libre simplifiée pas si simple que ça

[Heraghon]

Bonjour ,
On m'a récemment posé une question à priori toute simple :
Combien de temps exactement mettrait un corps ponctuel de masse quelconque à toucher le sol si on le lâchait à une certaine hauteur, en ignorant les frottements avec l'air et en prenant pour seule force s'appliquant sur notre système la gravité.

En gros, calculer avec exactitude, en ignorant les frottements, le temps de chute libre à partir d'une hauteur donnée.

Cela semble à première vue très simple, mais dans ce cas, on ne fera pas l'approximation , mais on devra bien utiliser la formule exacte, soit

On forme donc assez rapidement l'équation suivante : grâce à la 2ème loi de Newton.

On prend une hauteur de départ quelconque, disons et on forme une équation horaire de l'altitude en fonction du temps :

Seulement, dès lors, on obtient une équation différentielle impossible à résoudre conventionnellement, et ce parce que chaque inconnue de cette équation dépends directement de l'autre.
te
*Je me rectifie en précisant qu'elle me semble impossible à résoudre avec mes pauvres connaissances de lycéen en terminale , c'est d’ailleurs parce que j'espère une solution que je poste ici ^^*

Voilà, j'espère que ce problème vous plaira, si vous ne vous cassez pas trop la tête dessus ^^ !

[Ben314]

Salut,
En prenant comme origine pour le centre de la terre ton équation différentielle c'est où . En multipliant par ça donne qui s'intègre facilement en où qui peut s'écrire avec qui donne où est une primitive de qu'on peut calculer via le changement de variable puis une décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle obtenue.
Après, vu qu'on va surement avoir des logarithmes ET des fractions rationnelles dans la primitive , il y a peu de chance qu'on puisse avoir une expression explicite (avec uniquement les fonctions élémentaires du Lycée) de la bijection réciproque de , mais ça permet quand même d'écrire que qui permet de calculer (numériquement) facilement tout ce qu'on veut.