Chemins sur un échiquier

[Doraki]

J'avais pensé à faire ce genre de réductions de chemins, mais je m'y étais moins bien pris.
En fait je galérais pour ça :

il y a forcément des demis tours effectués.

Mais avec l'injectivité, ça va.

[nodjim]

Décidemment, sur ce problème là, le gouffre est immense entre ma conception personnelle, qui n'y voit qu'évidence, et vos preuves plus ou moins alambiquées.

La trace laissée par un pion qui traverse l'échiquier est continue puisque le déplacement se fait par face commune des cases (et la trace a donc une largeur minimale de 1 case). Comme cette trace s'étend continument d'une face à l'autre, elle partage le plan en 2 zones. Je ne comprends pas du tout en quoi cette description n'est pas une preuve.

[vincentroumezy]

Tu es en quelle classe ?

[vincentroumezy]

Un élèv de terminale peut t'il tenter de ssir la preuve précédente ?

[ffpower]

Je ne comprends pas du tout en quoi cette description n'est pas une preuve.

Je l'ai précisé plus haut. J'attend une démo arithmétique..Ici en l'occurence, surtout pour justifier l'assertion :

Comme cette trace s'étend continument d'une face à l'autre, elle partage le plan en 2 zones.

( qui au passage est fausse : elle pourrait très bien couper le plan en plein de petites zones, voire même en une infinité dans la version chemin continu, tout comme elle pourrait rien partager du tout si elle remplit tout par exemple, mais bon, de toute façon ce n'est pas ça le noeud du probleme..)

Un élèv de terminale peut t'il tenter de ssir la preuve précédente ?

La démo est totalement èlèmentaire, donc oui. Je vais essayer de la réexpliquer plus clairement, en termes moins formels

Donc pour commencer, je me ramene au cas ou :
-Un des pions part du milieu du coté haut pour finir au milieu du coté bas ( on va dire que le coté de l'échiquier comporte un nb impair de cases, histoire qu'il y ait bien un milieu )
Un autre pion part du milieu du coté gauche pour finir au milieu du coté droit. C'est facile de se ramener à ce cas ( mais demande si tu vois pas comment )
-Les 2 trajectoires sont injectives : à chaque fois qu'un pion revient sur une case ou il est déjà passé, on vire la "boucle" superflue qu'il vient d'effectuer. Ainsi dans ce cadre, si les 2 pions ne passent jamais sur une même case, ça entraine la propriété suivante : si un pion passe à un moment donné sur une case, plus aucun des 2 pions ne repassera sur cette case ensuite.


Ensuite, j'appelle demi-tour un bout de trajectoire qui ressemble à ça :

* *
*
*
*
* *

c'est à dire un passage ou le pion tourne 2 fois de suite à gauche, ou à droite. Je définis la longueur du demi tour comme le nombre de cases dont se déplace le pion entre les 2 moments ou il tourne ( sur mon précédent dessin, cette longueur vaut 4 )

Je dis qu'à moins qu'un pion ne fasse qu'avancer en ligne droite, il effectuera forcément au moins un demi-tour. ( si à un moment le pion partant d'un milieu d'un coté tourne à droite par exemple, et qu'il ne fasse jamais de demi-tour, on peut vérifier qu'il ne pourra pas atteindre le milieu du coté d'en face-il finira son parcours trop à droite)

Je considere un demi-tour de longueur minimal, parmi tous les demis tours effectués par les 2 pions. On va dire que celui ci est par exemple de longueur 4, pour rester dans le cadre de mon premier dessin :

* *
* X
* X
* X
* *

Et je dis alors que si les 2 trajets ne se croisent pas, alors aucun pion ne peut passer sur les cases marquées d'une croix. En effet les seuls moyens serait soit parce que le pion poursuivrait son parcourt ainsi :

* *
*
*
*|**
* *
( la barre est là pour pas qu'il y est d'ambiguité sur le chemin parcouru )
Soit parce qu'un autre pion ( ou le même pion ) passe dans le coin :

* *
* 0 0
* 0
* 0 0
* *

Dans les 2 cas, ça crée un demi-tour de longueur plus petite, ce qui contredit la minimalité de la longueur du demi-tour choisi.

Du coup, ceci permet de définir une nouvelle trajectoire pour le pion, plus courte, en le faisant passer sur les cases marquées d'un X. Si il faisait un truc comme ça :

* * *
* X
* X
* X
* *
X *

Sa nouvelle tracectoire deviendrait :

X* *
X*
X*
X*
X*
X*

Ainsi on a raccourci le chemin d'un des deux pions, et avec cette nouvelle config, les trajectoires restent injectives, et ne se croisent toujours pas si elles ne se croisaient pas au départ. En poursuivant ce procédé, on raccourcit petit à petit les trajectoires des 2 pions jusqu'à se ramener à un cas trivial ou on sait que les trajectoirent se coupent forcément.

PS : que soit maudit sur 10 générations toute personne critiquant interieurement ou exterieurement la qualité de mes dessins.

[vincentroumezy]

C'est assez dur à saisir.
Y a t'il une démonstration analytique ?

[nodjim]

Je peux donner une autre approche:
Les cases sont des points. Le déplacement d'un pion est symbolisé par un segment entre les pts. La trace d'un pion est bien continue. Quelle que soit la trajectoire du pion qui va d'une face à l'autre de l'échiquier, la ligne fera de même. Et cette ligne, au mieux, faudra bien la traverser. C'est de la pure logique. Même pas difficile à comprendre. niveau école primaire. Pourquoi s'embêter plus ?

[Imod]

C'est faux :zen:



Imod

[nodjim]

Je soupçonne comme un chouia de mauvais foi ...
Allez, je dirais "faudra bien la toucher, cette ligne". Et la toucher c'est bien occuper la même case.

[Imod]

J'ai cru lire "traverser" , mais bien sûr c'est de la mauvaise foi :we:

Je n'aime pas trop les "démonstrations" dont le bon sens n'est pas clairement sous-tendu par une propriété mathématique qu'on pourrait clairement exprimer . Bref si ta solution ( mais c'est aussi la mienne ) est si claire , on doit pouvoir l'exprimer de façon rigoureuse :zen:

Imod

[nodjim]

D'accord. C'est affaire des mathématiciens, dont je ne suis pas. Mais la logique simple est aussi de la mathématique. Les démos des anciens ne sont souvent que des phrases, elles n'en restent pas moins des références.

[Doraki]

Bah c'est le théorème de Jordan.

Dont la preuve n'est pas "ben c'est évident".

[Ben314]

D'accord. C'est affaire des mathématiciens, dont je ne suis pas. Mais la logique simple est aussi de la mathématique. Les démos des anciens ne sont souvent que des phrases, elles n'en restent pas moins des références.

Oui, mais à l'époque des "anciens" comme tu dit, il y avait aussi moult "paradoxes"...

[nodjim]

J'espère que ce n'est pas ce problème qui a poussé Jordan à formaliser la topologie. Sûrement qu'il avait d'autres problèmes bien plus aigus à résoudre. Il n'en reste pas moins vrai que ce problème là n'en est pas vraiment un. Sinon toutes les réponses aux nombreux problèmes de ce genre qu'Imod a proposés sont bonnes à jeter à la poubelle!

[nodjim]

Oui, mais à l'époque des "anciens" comme tu dit, il y avait aussi moult "paradoxes"...

Par exemple ?

[Doraki]

Il n'en reste pas moins vrai que ce problème là n'en est pas vraiment un.

Je ne suis pas d'accord, même si c'est un truc qui paraît "évident", il est toujours bon de savoir si on peut le prouver formellement avec les concepts de base dont on dispose sur le sujet et qui devraient être suffisants si on pense que ces concepts sont assez puissants pour décrire parfaitement notre intuition sur le sujet.
Si on y arrive pas c'est qu'il y a un manque parmi les concepts, et c'est quelque chose d'important.

On pourrait aussi dire qu'il est évident que le paradoxe de Banach-Tarski est impossible, et donc que l'axiome du choix est faux, et pouf tu te prives de tout un tas de résultats sans tellement de raison sérieuse.

[nodjim]

Si je t'amène à accepter une par une des phrases que tu ne pourras réfuter, et si en conclusion on arrive à une preuve, diras tu que ce n'est pas une preuve ?

[nodjim]

.le paradoxe de Banach-Tarski est impossible

Je ne suis pas en mesure de pouvoir discuter de ce paradoxe, c'est hors de ma portée, bien plus complexe que le problème dont nous discutons. Ce n'est pas comparable.

[Ben314]

Je ne suis pas en mesure de pouvoir discuter de ce paradoxe, c'est hors de ma portée, bien plus complexe que le problème dont nous discutons. Ce n'est pas comparable.

Pourtant, c'est on ne peut plus simple à énoncer : on prend une boule, on la coupe en morceaux (un nombre fini de morceaux) et, avec ces morceaux, on reconstitue deux boule ayant exactement la même taille que la première (et sans trou à l'interieur).
Cela ne me semble pas bien plus compliqué que de savoir si on peut (ou pas) relier les cotés opposés d'un carré par deux fonction continue qui ne se coupent pas.

Concernant les paradoxes "célèbres", les plus anciens sont sans doute les paradoxes de Zénon et
le fait que racine(2) soit incomensensurable (qui était en contradiction avec la vision que les grecs de l'époque avaient des "nombres"). Nettement plus récent et qui a sévèrement posé problème celui concernant "l'ensemble des ensembles qui n'appartiennent pas à eux même".

[Doraki]

Si je t'amène à accepter une par une des phrases que tu ne pourras réfuter, et si en conclusion on arrive à une preuve, diras tu que ce n'est pas une preuve ?

Ne pas pouvoir être réfuté, ce n'est pas la même chose qu'être logiquement valide.

Je te vois venir tu veux que j'accepte que l'hypothèse de Riemann, la conjecture de Syracuse, et la conjecture de Goldbach sont toutes vraies !