Donc voilà mon plan de demo :
Je pars de
et
comme dans l'énoncé en supposant de plus que
et
sont injectives, que
commence et finit sur la même verticale(
), et que
commence et finit sur la même horizontale (
). Il est facile de se ramener à ce cas.
Je dirai que
est un demitour de longueur b-a de
si
, et
, et
.ou si on la même chose en remplacant
par
.. ( autrement dit,
et
sont des coins consécutifs ou le chemin tourne 2 fois dans la meme direction ).
Supposons maintenant que
et
ne se croisent pas. Si
et
ne sont pas tous 2 des lignes droites ( cas trivial ), il y a forcément des demis tours effectués. J'en choisis un de longueur minimale, disons
. On constate alors qu'entre les points
et
, il n'y a aucun point de
ni de
, car ceci impliquerait l'existence d'un demi tour de longueur plus petite. Du coup, on peut construire un nouveau chemin
, identique à
, sauf qu'au lieu de tourner en
puis en
, on tourne en
puis en
. Ainsi
et
vérifie encore les mêmes hypotheses, et
est plus court que
( de 2 cases ). Donc en itérant le procédé, on finit par se ramener au cas trivial des 2 droites..
PS : c'est dans ce genre de situation que je regrette de ne pas savoir maitriser d'outils de dessins comme vous. J'espere que vous arriverez quand même à suivre la démarche..
EDIT :
Ben314 a écrit:Bon, désolé : je suis à la fac et j'ai rien sous format informatique en topo algébrique...
Pas bien grave, merci quand même..Le lien que tu m'as passé me va de toute facon très bien pour l'instant..