Chemins sur un échiquier

[beagle]

Je mets le pion I en d4. Il effectue un mouvement simple d'une case vers la droite. Il change de côté.
Je mets le pion II en f4. Il effectue un mouvement simple d'une case vers le bas. Il change de côté ?!


Je pense ne pas comprendre, ca m'a vraiment l'air trop simple pour que vous en discutiez 7 pages ^^

Bref, je vais me coucher moi, à demain !

dans l'exo on parle de cotés gauche a1 à a8 de coté droit h1 à h8, du haut de la rangée 8, du bas de la rangée 1 pour un échiquier 8x8

[ffpower]

par coté gauche on entends sur la colonne A, et par coté droit sur la colonne H..Idem pour haut et bas

[Ben314]

...mais chercher un truc dont manifestement la question n'est pas bien comprise,
comme ne sont pas comprises les notions utilisables, cela reste duraille.

Je ne pense pas que vous compreniez "mal" la question, mais plutôt que vous n'êtes pas familier avec les systèmes d'axiomes qui, depuis un peu moins d'une centaine d'année sont "la référence" des math "sérieuses" mais ne sont pas tellement enseignées avant au minimum le L3 vu que, temps que l'on reste sur des problèmes "assez proche du concret", et qu'on ne cherche pas "la petite bète" (c'est à dire des paradoxes), ce n'est pas indispensable.

Les axiomes, c'est les briques élémentaires avec lesquelle tout doit être construit.
En général, il correspondent à peu prés à l'intuition que l'on a des choses.
Le problème ici, c'est que le fait que les deux trajectoires se coupent, bien que se soit totalement évident intuitivement parlant , ben ça fait pas parti des axiomes que l'on prend en général et qu'il s'avère même qu'en fait, avec les axiomes usuels, ben c'est pas du tout un truc évident à démontrer.

A mon sens, c'est un peu comme le théorème de Jordan (en moins compliqué quand même) : intuitivement, c'est totalement évident, mais en fait à démontrer avec les axiomes (et les définitions) usuelles, c'est la galère...

[_Telemaque_]

J'ai enfin l'impression d'avoir compris !

J'ai jamais fait ça en cours, ca a l'air beaucoup trop compliqué pour mon petit niveau, je vous laisse mes petits matheux !

[beagle]

On essaye encore avec Jordan.

Les chemins complexes peuvent se réduire en chemins simples.

un chemin simple est délimitable clairement QS ligne rouge
ligne de gauche à droite:
dessus si vers la droite,
à gauche si vers le haut,
en bas si vers la droite
à droite si vers la gauche

cette ligne est polygonale= du droit et des angles droits,relie aux deux bords d'un échiquier polygonal.

On montre que pour toute colonne:
il y a un nombre impair de lignes rouges

On appelle A l'ensemble des points:
dans chaque colonne k sont dans A les cases de la case inférieure à la case dont le bord sup du carré est ligne rouge.
On appelle B l'ensemble des points :
dans chaque colonne k sont dans B les cases de la case supérieure à la case dont le bord inférieur est ligne rouge.

Alors Jordan,
pour chaque colonne,
toute liaison d'un point de A vers un point de B , traverse un nombre impair de ligne rouge.
Ils ne sont pas dans la mème surface.

[beagle]

On peut maintenant simplifier.

pour passer la colonne k,
il faut avoir une première arrivée de la colonne k-1
et une dernière sortie vers k+1

tout chemin aura par nécessité un nombre impair de passage.
1je sors
2je rentre
3je sors
4je rentre
C'est la mème chose que les lacets de jordan
avec de l'impair je sors de la surface initiale,
avec du pair je rentre de nouveau dans la surface initiale
(la surface initiale étant le rectangle bord délimité par première colonne et colonne k.

maintenant dans une colonne donnée:
le point sup pour aller au point inf, traverse un nombre impair de passage
ces points ne sont pas dans la mème surface.

Si pas de passage de la courbe dans les rangées supérieure et inférieure,
tous les points de la rangée sup sont connectés par 0 traversée et donc dans la mème surface
tous les points de la rangée inf sont connesctés avec 0 traversée et sont aussi dans une mème surface.

Reste encore à voir quand le chemin passe par une case sup ou inf.

Ben, j'ai progressé là ou bien j'ai encore trivialisé en changeant juste les trucs à montrer?

PS: si passage du chemin dans les cases de rangée sup et ou inf,
il doit ètre possible de passer du problème échiquier n, à un échiquier avec n+1 ou n+2 rangée.
on montre que toutes les cases sup sans chemin sont connectées à la rangée supplémentaire et donc appartiennent à une mème surface différente de celle coté opposé.

PS2:non, on ne peut pas partir du chemin complexe pour compter,
il faut partir du chemin simple sans croisements,OK vu.
et il ya encore un petit soucis à régler si possible.

[beagle]

j'ai effacé les messages de ce matin.

post en construction,
je fais idem ce matin mais avec un seul polygone.
Je suis désolé Jordan pour moi c'était le basketeur,
mais ça vient.

[ffpower]

Je ne pense pas que vous compreniez "mal" la question, mais plutôt que vous n'êtes pas familier avec les systèmes d'axiomes qui, depuis un peu moins d'une centaine d'année sont "la référence" des math "sérieuses" mais ne sont pas tellement enseignées avant au minimum le L3 vu que, temps que l'on reste sur des problèmes "assez proche du concret", et qu'on ne cherche pas "la petite bète" (c'est à dire des paradoxes), ce n'est pas indispensable.

C'est pas tellement plus enseigné à partir de L3 à vrai dire ( en tout cas moi, j'y ai pas eu droit..)

A mon sens, c'est un peu comme le théorème de Jordan (en moins compliqué quand même) : intuitivement, c'est totalement évident, mais en fait à démontrer avec les axiomes (et les définitions) usuelles, c'est la galère...

Je me demande d'ailleurs si ce n'était pas le but premier de la topo algébrique, d'arriver à exprimer assez clairement des phénomenes topologiques visuellement évident mais compliqués à formaliser. Des gars se sont peut être dit à cause de ça qu'il y avait un manque, et hop. : du coup on crée une théorie qui permet de montrer aisément Jordan, que Id n'est pas homotope à -Id sur la sphere ou toute autre connerie du genre.

J'ai enfin l'impression d'avoir compris !

J'ai jamais fait ça en cours, ca a l'air beaucoup trop compliqué pour mon petit niveau, je vous laisse mes petits matheux !

Pas tant que ça non plus, faut pas se laisser impressionner par la taille du topic, les 8 pages de blabla sont essentiellement des débats trollesques mathématico-philosophiques

j'ai effacé les messages de ce matin.

post en construction,
je fais idem ce matin mais avec un seul polygone.
Je suis désolé Jordan pour moi c'était le basketeur,
mais ça vient.

Lol..Pour qu'il n'y ait pas trop de confusion : le matheux, il se prononce Jor-dent.

[beagle]

C'est reparti.

On montre qu'il est possible de passer d'un chemin complexe qui se recoupe x fois,
en un chemin simple sans recoupement,
ce chemin qui va de gauche à droite pour traverser l'échiquier d'épaisseur 1 case, on prend une ligne rouge qui sera dessus pour aller à droite,
à gauche en montant
dessous pour aller de droite à gauche
à droite en descendant.

ce chemin est le morceau du polygone qui traverse l'échiquier de gauche à droite,
on va le prolonger un peu d'un case extérieure à l'échiquier pour remonter au-dessus de l'échiquier toujours avec un case de plus, on redescend à une case du bord vers le point de jonction gauche.
fermeture donc d'un seul polygone.

Ensuite, au niveau d'une colonne k,
on montre qu'il y a un nombre impair de ligne rouge.
Pour passer la colonne k il faut k-1 vers k+1 sortir=1
rentrer=2, sortir =3,etc... faut sortir une fois de plus que rentrer, bref impair.

si on prend les cases du polygone au-dessus de l'échiquier, elles sont reliées aux cases supérieures de l'échiquier qui n'auraient pas été visitées par le chemin, sans rencontrer le chemin donc,
les cases du haut non visitées appartiennent donc à la mème surface.

d'une case supérieure (du milieu de la case) on descend dans la mème colonne à la case inférieure, en traversant un nombre de fois impair le chemin, donc la case inférieure n'est pas dans la mème surface que la case supérieure.C'est valable pour toutes les cases inférieures situées donc dans une surface différente des cases supérieures.

[vincentroumezy]

Le théorème de Jordan peut servir à démontrer ici.
On trace une courbe continue, qui revient à son point de départ (si on trace sur le bord de l'échiquier).Le plan est donc séparé en deux prties.

[nodjim]

Toujours le fait qu'une ligne coupe le plan en 2 parties. Enfin déja faudrait savoir ce que t'entend par ligne..

C'est drôle ça , j'aurais pensé que c'était la chose la plus facile à prouver.
On dessine une ligne 1 qui se reboucle sur elle même. On a dessiné un territoire. D'un point de cette ligne 1, et dans le territoire, on trace une ligne 2 continue qui ne se recoupe pas elle même et qui aboutira à un autre point de la ligne 1. On imagine un petit bonhomme qui trace cette ligne en se tenant à sa gauche. Il est évident (tant pis je le dis) que tant qu'il n'arrivera pas à une extrémité, il ne formera pas de nouveau territoire. Un bout de ligne qui n'aboutit pas ne peut former un territoire, ça s'explique facilement. Quand il arrive au but, il est tjs à gauche de la ligne qu'il a créée. il suit alors la ligne 1, et il ne peut qu'arriver à son point de départ, à la gauche de la ligne 1. Il n'a pas le choix. Donc il a fait une boucle. Comme il peut faire une autre boucle à droite, on a 2 boucles, donc 2 territoires. La ligne a coupé le plan en 2.
Je laisse à ta réflexion le soin de savoir pourquoi je dis que quand il revient à son point de départ, il est toujours à gauche de la ligne qu'il a créée.

[nodjim]

Au fait, cette histoire de courbe de Peano qui emplit un plan, c'est une farce ou quoi ?

[ffpower]

Nodjim : est-ce que tu as décidé d'admettre le théoreme de Jordan dans ta preuve? ( vu que le fait qu'une boucle crée un "territoire",c'est Jordan.. )
Et pour la courbe de Peano, bah non, elle existe..

[beagle]

Nodjim : est-ce que tu as décidé d'admettre le théoreme de Jordan dans ta preuve? ( vu que le fait qu'une boucle crée un "territoire",c'est Jordan.. )
..

Toujours pas compris ce qu'on avait le droit d'utiliser,...
Lorsque Ben crée une boucle , courbe traversant l'échiquier + courbe extérieure à l'échiquier,
là il dit il y a deux surfaces une intérieure et l'autre extérieure

Lorsque l'on dit si une courbe traversant l'échiquier alors une boucle fermée avec une partie de l'échiquier définit bien deux surfaces, une partie de l'échiquier+
surface tout le reste,
et ce tout le reste comportant une nouvelle boucle fermée avec la courbe et l'autre partie de l'échiquier

[vincentroumezy]

Pouvez vous me dire si ma démonstration est valide?

[nodjim]

Nodjim : est-ce que tu as décidé d'admettre le théoreme de Jordan dans ta preuve? ( vu que le fait qu'une boucle crée un "territoire",c'est Jordan.. )
Et pour la courbe de Peano, bah non, elle existe..

Pour le théorème de Jordan, je verrai plus tard, l'article sur Wiki est pas mal, il faut regarder ça de plus près.
Pour la courbe de Peano qui remplit un plan, j'ai toujours cru qu'une ligne étant de surface nulle (largeur nulle) alors je vois pas trop comment, même avec le dessin sous les yeux, comment on remplit un plan.
De même que j'ai tjs cru qu'une ligne n'était pas un assemblage de pts, ni un plan un assemblage de lignes, ni l'espace un assemblage de plans.

[ffpower]

Toujours pas compris ce qu'on avait le droit d'utiliser,...
Lorsque Ben crée une boucle , courbe traversant l'échiquier + courbe extérieure à l'échiquier,
là il dit il y a deux surfaces une intérieure et l'autre extérieure

Lorsque l'on dit si une courbe traversant l'échiquier alors une boucle fermée avec une partie de l'échiquier définit bien deux surfaces, une partie de l'échiquier+
surface tout le reste,
et ce tout le reste comportant une nouvelle boucle fermée avec la courbe et l'autre partie de l'échiquier

Après la question, c'est "quel est votre but?". Démontrer mathématiquement ce résultat?ou pas? Car on est tous d'accord que si on regarde l'exo d'un point de vue "intuitif", l'exo est évident. Mais si vous voulez le démontrez mathématiquement, alors il faut une démo précise ( et juste^^ ) et énoncer les théoremes utilisés. C'est la seule consigne officielle. Après, disons qu'une consigne tacite, comme dans à peu près tous les exos du forum ( de ces sections en tout cas ), c'est d'essayer de trouver la démo la plus courte, élémentaire et élégante possible.

En espérant avoir éclairci tes interrogations

[ffpower]

Pouvez vous me dire si ma démonstration est valide?

Il faut rendre la courbe injective avant si on veut utiliser Jordan ( et donc aussi qu'elle ne touche pas le bord de l'échiquier à part au début et à la fin, afin que ton extension reste injective ). Après ok, le plan et séparé en 2, mais est-ce suffisant pour conclure? Il faut aussi justifier que ta 2eme courbe passe à la fois par l'interieur et l'exterieur de la surface que t'as délimité avec ton lacet de Jordan, et ça, c'est pas forcément évident non plus à prouver..

[Doraki]

Pour la courbe de Peano qui remplit un plan, j'ai toujours cru qu'une ligne étant de surface nulle (largeur nulle) alors je vois pas trop comment, même avec le dessin sous les yeux, comment on remplit un plan.
De même que j'ai tjs cru qu'une ligne n'était pas un assemblage de pts, ni un plan un assemblage de lignes, ni l'espace un assemblage de plans.

La courbe de Peano c'est bien une fonction continue surjective de [0;1] dans [0;1]².
Je suis désolé que ton intuition te dise des trucs faux du genre "c'est impossible".

@beagle

"ce chemin est le morceau du polygone qui traverse l'échiquier de gauche à droite,
on va le prolonger un peu d'un case extérieure à l'échiquier pour remonter au-dessus de l'échiquier toujours avec un case de plus, on redescend à une case du bord vers le point de jonction gauche.
fermeture donc d'un seul polygone."

Là j'comprends pas ce que tu veux dire.
Tu peux expliquer sur cet exemple ?

[nodjim]

La courbe de Peano c'est bien une fonction continue surjective de [0;1] dans [0;1]².
Je suis désolé que ton intuition te dise des trucs faux du genre "c'est impossible".

J'ai pas dit ça. Je disais juste qu'une ligne avait une surface nulle. Sinon, c'est quoi sa surface ?