Chemins sur un échiquier

[beagle]

Ce n'explique pas pourquoi ça ne marche plus quand on peut marcher en diagonale (ie que dans ce cas, on peut passer d'un territoire à l'autre alors qu'ils n'ont rien en commun, pourquoi ça devient faux quand on ne se déplace plus en diagonale ? J'avoue que j'ai du mal avec ça).

parce que les vecteurs orthogonaux se croisent TOUJOURS DANS la case, donc tu dois toujours passer dans la case quand c'est uniquement l'horizontale et le vertical,

alors que les vecteurs orthogonaux des diagonales passent 1 sur 2 dans la case (cela ferait rencontre) et 1 sur 2 vecteur orthogonal croise un coin de carré, il n' y a pas rencontre .
C'est un peu comme si une case sur deux était en arrière ou en avant , mais pas dans le plan.
Un vecteur orthogonal sur deux n'est pas un vrai orthogonal si orthogonal est se couper au centre d'une case ou se couper au coin d'une case.

D'ailleurs cela ne passe pas en diagonal si un des protagonistes avance en combinaison de vecteurs uniquement horizontaux et vecticaux, il faut que deux fausses diagonales se croissent pour marcher, il faut des vecteurs faussement orthogonaux.

Je suis comme nodjim, je découvre ce problème et trouve surprenant que cela soit à démontrer.
Ce qui n'enlève rien à vos tentatives.

[Imod]

J'ai quand même l'impression quand ce moment on rabâche toujours un peu les mêmes choses et avec les mêmes personnes . Si on peut critiquer les Bourbakistes qui ont formaliser les maths à l'extrême c'est uniquement sur l'introduction leur point de vue dès l'école primaire et on sait le carnage qui a suivi . D'un autre côté on ne peut pas laisser dire que les anciens se fichaient de la démonstration comme de l'an 40 , il suffit de jeter un coup d'oeil aux éléments d'Euclide ou tout ouvrage de géométrie .

Dans les problèmes que j'ai proposé , si je n'ai pas souhaité m'éterniser sur le côté technique c'est parce qu'il ne passionne pas plus que ça . Mais bon , je dois pouvoir prouver formellement la grande majorité d'entre . Il doit rester quelques exceptions mais de là tirer un trait sur l'ensemble , il ne faut pas exagérer .

Dans tous les cas en cas de doute , il faut reprendre à partir des axiomes fondateurs , Euclide lui même avait oublié des "choses" .

Imod

[beagle]

comme nodjim, pourquoi ne peut-on dire que la traversée de gauche à droite par n'importe quel chemin, peut ensuite se réduire à une ligne continue d'épaisseur une case?
pourquoi alors l'échiquier n'est-il pas séparé en deux ensembles fermés?
et que donc pour traverser ensuite de haut en bas, il faut franchir l'espace fermé?
C'est à quel niveau que vous réfutez?

Versus avec le déplacement en diagonale, on peut réduire la traversée à une ligne fermée d'épaisseur variant de 1 case à un seul point.
Il y a là aussi 2 ensembles fermés , et il faudra traverser cette ligne fermée.
Sauf que la ligne au niveau des points, on démontre que cela passe en croisant la ligne fermée, sans croiser au sens de rentrer dans une case.

Bref, vous réfutez quoi depuis le début?

[Ben314]

comme nodjim, pourquoi ne peut-on dire que la traversée de gauche à droite par n'importe quel chemin, peut ensuite se réduire à une ligne continue d'épaisseur une case?
pourquoi alors l'échiquier n'est-il pas séparé en deux ensembles fermés?
et que donc pour traverser ensuite de haut en bas, il faut franchir l'espace fermé?
C'est à quel niveau que vous réfutez?

Perso, c'est à ce niveau que je réfute : pour moi, le problème est totalement équivalent à démontrer que, si avec le pot de peinture de "paint", on clique en rouge sur une case libre touchant le bord gauche, alors ça ne peindra pas en rouge les cases qui touchent le bord droit.
(C'est à dire que je considère que ce que tu as écrit, ça consiste uniquement à formuler le problème un peu différemment, mais ça ne le résoud absolument pas)

[beagle]

Je ne comprends pas, marche en cotés ou marche en diago, dans les deux cas d'un bord à l'autre on a fermé, comment cela peut-il ètre ouvert?

on est obligé de coller à chaque case par un coté ou par un coin(pour diagos),
donc la ligne serait ouverte par quel mécanisme?
Je ne comprends pas la rupture de continuité de case de départ à case d'arrivée.

[Ben314]

...on a un ensemble fermé...

Prouve le... (en général, on parle plutôt d'ensemble connexe)

donc la ligne serait ouverte par quel mécanisme?

Ce n'est pas parce que on ne "voit pas par quel mécanisme" elle pourrait être ouverte que... ça prouve qu'elle est fermé.
On ne "voit pas" non plus comment reconstituer deux boules avec des morceaux d'une seule, et pourtant... c'est possible (avec l'axiome du choix).

Je ne comprends pas la rupture de continuité de case de départ à case d'arrivée.

Si tu parle de continuité (au sens mathématique du terme), alors il faut utiliser soit la notion d'indice, soit le théorème de Jordan et, le moins que l'on puisse dire, c'est que c'est tout sauf "évident".

[Ben314]

Pour peut être préciser pourquoi il y a un problème :

Il me semble qu'il est parfaitement clair que l'hypothèse disant que l'on va du bord haut au bord bas (et de droite à gauche) en restant dans le carré est indispensable (sinon, on pourrait faire le tour par l'extérieur).

Où te sert tu de cette hypothèse indispensable dans ton raisonnement ?

[beagle]

Pour peut être préciser pourquoi il y a un problème :

Il me semble qu'il est parfaitement clair que l'hypothèse disant que l'on va du bord haut au bord bas (et de droite à gauche) en restant dans le carré est indispensable (sinon, on pourrait faire le tour par l'extérieur).

Où te sert tu de cette hypothèse indispensable dans ton raisonnement ?

Je ne comprends pas.
Si je passe par l'extérieur, OK, je sais faire puisque je laisse libre l'échiquier.
Dans les deux cas on utilise une seule notion dedans et dehors .
Comprends pas.
Je peux aussi passer par l'extérieur, revenir et fermer-bloquer par morceaux.Je ne suis pas obligé de rester en permanence dans l'échiquier.
Donc ???

[beagle]

Si on le fait avec des enfants, un enfant dans chaque case.
Avec une main receveuse il donne la main de celui qui lui a transmis, et avec l'autre main transmettrice il tient la main du suivant.
Si je demande à la fin est-ce que vous avez tous vos deux mains prises?
La réponse sera bien qu'il y a une chaine.

[vincentroumezy]

Une courbe fermée délimite deux polygones distincts. Pour passer de l'un à l'autre, il faut traverser la courbe si on ne veut pas la contourner.
Pour aller de France en Alemagne sans passer par la mer, il faut passer la frontière.

[ffpower]

Ton analogie est amusante vu que le théoreme des valeurs intermédiaires est parfois appelé "théoreme du passage à la douane". Bref, je pense que c'est pas forcément la peine de continuer à tergiverser des plombes. Cet exercice est facile intuitivement, mais ( relativement ) difficile mathématiquement. Après vous pouvez en déduire que les mathématiques sont mal faites ou ce que vous voulez, mais c'est comme ça..

[Ben314]

Une courbe fermée délimite deux polygones distincts. Pour passer de l'un à l'autre, il faut traverser la courbe si on ne veut pas la contourner.
Pour aller de France en Alemagne sans passer par la mer, il faut passer la frontière.

1) Bon, déjà, pour que ça délimite deux ploygones, il faudrait que le courbe soit une réunion fini de segments (sinon, c'est pas des polygones) et il faut aussi qu'elle soit injective (sinon il y a plus de deux polygônes)

2) Tu les définit comment tes deux "pays" (ou polygônes) ?
Donne moi une DEFINITION RIGOUREUSE de ce que tu fait, lorsque je te donne un point du dessin pour savoir s'il est "en france" ou "en allemagne" PUIS démontre qu'aucun point n'est A LA FOIS "en france" et "en allemagne". (ça doit être la 5em fois que je le dit : l'exo, c'est ça : DEFINIR les deux "zones")

3) Le théorème (c'est un théorème et pas une "évidence") disant que pour aller continument d'un point contenu dans un ensemble X à un point non contenu dans X il faut forcément passer par la frontière de X s'appelle effectivement théorème du passage à la douane

Résumé : Tu continue à dire "c'est évident car... c'est évident" et rien ne progresse.
Je te redonne l'excellent dessin de ffpower :
http://www.oberlin.edu/math/faculty/bosch/smiley2006-yellow-red-dot-web.png
qui permet de voir que définir proprement ce qui est "à l'interieur" où "à l'extérieur" d'une courbe et... tout sauf évident !

Une dernière question : visiblement, tu trouve "évident" que lorsque l'on trace une courbe fermée (i.e. qui revient à son point de départ) dans le plan, elle coupe le plan en deux parties.
Est-ce encore vrai si on trace la courbe sur une sphère ? sur la surface d'un tore (une chambre à air) ?

[nodjim]

Ne pas pouvoir être réfuté, ce n'est pas la même chose qu'être logiquement valide.

Je te vois venir tu veux que j'accepte que l'hypothèse de Riemann, la conjecture de Syracuse, et la conjecture de Goldbach sont toutes vraies !

Non pas du tout. Si je dis que tu ne pourras les réfuter, c'est qu'elles seront logiques. Je ne cherche pas à piéger. Car depuis le début, je voudrais bien savoir en quoi les démos que j'ai données sont contestables.

[Doraki]

Elles sont contestables parcequ'elles ne font pas appel à de l'arithmétique sur les entiers, mais à ton intuition. Moi j'en ai rien à faire de ton intuition.

Etre logiquement valide ça veut dire que ta preuve d'arithmétique suit les règles de la logique, et c'est quelquechose de bien précis. Parceque c'est préférable que tout le monde joue au même jeu quand on fait des maths.

[nodjim]

Si je comprends bien le problème de la preuve énoncé par les "puristes": ce n'est parce que le pion est allé d'une face à l'autre en suivant un chemin quelconque que pour autant il a fabriqué un ensemble continu de cases qui rejoignent ces 2 faces.
C'est bien ça ou c'est encore autre chose ?
Ce n'est pas que je veux faire ma mauvaise tête, mais je voudrais juste tenter de comprendre.

[nodjim]

Elles sont contestables parcequ'elles ne font pas appel à de l'arithmétique sur les entiers, mais à ton intuition. Moi j'en ai rien à faire de ton intuition.

Etre logiquement valide ça veut dire que ta preuve d'arithmétique suit les règles de la logique, et c'est quelquechose de bien précis. Parceque c'est préférable que tout le monde joue au même jeu quand on fait des maths.

Vu ton argument, on ne peut faire de géométrie alors ?

[beagle]

2) "Tu les définit comment tes deux "pays" (ou polygônes) ?
Donne moi une DEFINITION RIGOUREUSE de ce que tu fait, lorsque je te donne un point du dessin pour savoir s'il est "en france" ou "en allemagne" PUIS démontre qu'aucun point n'est A LA FOIS "en france" et "en allemagne". (ça doit être la 5em fois que je le dit : l'exo, c'est ça : DEFINIR les deux "zones")"

il n' y a pas deux zones mais trois zones:
si on prend un passage de gauche à droite:
il y a au-dessus une zone libre
en dessous une zone de passage, épaisseur minimale = 1 case, qui ne fait qu'augmenter si replis avec boucles
une troisième zone libre en dessous

les replis de passages et boucles ne font qu'augmenter l'épaisseur de la zone médiane qui est minimale pour un passage en ligne droite si les diagos sont interdites, qui est sans retour arrière si diagos autorisées.
mais diagos autorisées ou non on ferme obligatoirement.

si une ligne briséecontinue entre deux parallèles est traversable entre les parallèles alors effectivement on remet en cause beaucoup de choses.

[vincentroumezy]

OK, ce ne sont pas des polygones mais des parties de plan.
Graduons le coté bas de l'échiquier de 0 à x, et le coté gauche de 0 à x.
Un point de coordonnées (a;b) est à gauche si la courbe verticale passe par le point (a';b), avec a'>a.
Quant à ce problème de sphère ou de tore, nous sommes sur un échiquier.

[nodjim]

Pourtant, c'est on ne peut plus simple à énoncer : on prend une boule, on la coupe en morceaux (un nombre fini de morceaux) et, avec ces morceaux, on reconstitue deux boule ayant exactement la même taille que la première (et sans trou à l'interieur).
Cela ne me semble pas bien plus compliqué que de savoir si on peut (ou pas) relier les cotés opposés d'un carré par deux fonction continue qui ne se coupent pas.

Concernant les paradoxes "célèbres", les plus anciens sont sans doute les paradoxes de Zénon et
le fait que racine(2) soit incomensensurable (qui était en contradiction avec la vision que les grecs de l'époque avaient des "nombres"). Nettement plus récent et qui a sévèrement posé problème celui concernant "l'ensemble des ensembles qui n'appartiennent pas à eux même".

Hum, pour reconstituer 2 boules de moindre diamètre à partir d'une seule, compte tenu que les courbes extérieures ne sont pas les mêmes, je ne vois pas du tout comment on peut s'y prendre. A la limite, des morceaux aussi petits que l'on veut....Je le dis, ça me dépasse.
Pour le paradoxe de Zénon, c'est un bel exemple de fausse démo, je ne sais si à l'époque ils avaient résolu, sinon ça montre qu'ils n'avaient pas encore vraiment compris, et encore ça prouvait leur questionnement. Pour les racines carrées, ben ils se méfiaient de la nature de ces nombres, depuis on a avancé, mais ça c'est normal. Bref leur héritage est tout de même impressionnant et il n'y pas beaucoup de choses à redire, quand même.

[beagle]

Il est possible d'enlever toutes les boucles fermées qui ne servent à rien, il est possible de fermer les culs de sacs = les rectangles à 3 cotés seulement, on les ferme par ligne directe puisque pas de passage possible dedans, au final la courbe en haut est un escalier continu qui monte et descend d'un coté à l'autre.
no passara