Chemins sur un échiquier

[ffpower]

Il est possible d'enlever toutes les boucles fermées qui ne servent à rien, il est possible de fermer les culs de sacs = les rectangles à 3 cotés seulement, on les ferme par ligne directe puisque pas de passage possible dedans, au final la courbe en haut est un escalier continu qui monte et descend d'un coté à l'autre.
no passara

C'est grosso modo ma demo

[Doraki]

Vu ton argument, on ne peut faire de géométrie alors ?

Ce n'est pas un exercice de géométrie.

On peut faire de l'analyse (arithmétique du 2nd ordre) si tu veux mais c'est inutilement plus complexe,
et puis il n'y a pas de principe miraculeux qui apparaît quand on passe de l'arithmétique du 1er ordre à l'arithmétique du 2nd ordre, qui correspondrait à ton intuition.

Tu peux faire de la géométrie euclidienne mais je suis pas certain qu'il soit possible d'y formaliser le problème sans faire une horrible traduction de la version arithmétique.

[Ben314]

Il est possible d'enlever toutes les boucles fermées qui ne servent à rien, il est possible de fermer les culs de sacs = les rectangles à 3 cotés seulement, on les ferme par ligne directe puisque pas de passage possible dedans, au final la courbe en haut est un escalier continu qui monte et descend d'un coté à l'autre.
no passara

Effectivement, si tu démontre que à chacune de ces "opérations" (enlever les boucles, fermer les cul de sac,...), ça ne modifie pas la "nature" de... quelque chose..., alors c'est bon.
En fait si tu DEMONTRE que chacune de ces "opérations" ne change pas la réponse OUI/NON à la question "est-ce que ma courbe coupe l'échiquier en deux ?" alors tu aura effectivement gagné.

P.S. Pour les deux boules que l'on reconstitue, elles ne sont pas "de moindre diamètre", mais exactement de même diamètre que la boule initiale...

P.S.2 : (je vient de voir le post de Doraki) : pour moi, ce qui serait la preuve la plus proche d'une vision "géométrique" du problème, ça serait celle avec les indices...

[beagle]

Effectivement, si tu démontre que à chacune de ces "opérations" (enlever les boucles, fermer les cul de sac,...), ça ne modifie pas la "nature" de... quelque chose..., alors c'est bon.
En fait si tu DEMONTRE que chacune de ces "opérations" ne change pas la réponse OUI/NON à la question "est-ce que ma courbe coupe l'échiquier en deux ?" alors tu aura effectivement gagné.

...

c'est mon copain ffpower qui fait cette partie là, grosso modo il a dit ...
dans la vie faut savoir déléguer, et encourager les bonnes ames,
je pense le plus grand bien de ce garçon, vas-y ffpower ...

Comment une ligne brisée continue rejoignant deux parallèles, mème en se superposant la brisure à en gonfler un forum, peut devenir poreuse?C'est pas en augmentant le gribouillis du dessin que le continue se disjoint.Sauf si on prend des morceaux de bois, alors en les brisant on peut passer entre les morceaux,
Mais une ligne brisée ne va pas me les briser menus comme ça longtemps...

[Doraki]

Il n'y a pas de raison de s'arrêter en si bon chemin dans le doute:
Si l'échiquier est une pelouse, et que le jeton avance avec une tondeuse, en gros, quand le pion a traversé, il n'est pas du tout sûr qu'on puisse retrouver un chemin de retour en suivant les cases tondues! cela dit, l'herbe ça repousse....

Si on a une suite de cases contiguës, en retournant la suite, on a toujours une suite de cases contiguës, vu que la relation "voisin" est symétrique.

[beagle]

il y a aussi crétin que nodjim:moi.
Puisque une ligne continue est possiblement franchissable, bien que je ne comprenne pas comment ,
comment savoir que l'on commence le jeu à partir d'un des bords de l'échiquier?
Peut-ètre démarre-t-on à partir d'un endroit franchissable (sans le croiser) du coté de l'échiquier?
J'espère que c'est bien pris en compte par tous.

[Ben314]

Comment une ligne brisée continue rejoignant deux parallèles, mème en se superposant la brisure à en gonfler un forum, peut devenir poreuse?

Le fond du problème (et, il me semble l'"essence" des mathématiques), c'est que la phrase :
"Je ne vois pas comment une ligne brisée continue rejoignant deux parallèles peut être poreuse"
ne constitue pas une preuve que toute ligne brisée continue rejoignant deux parallèles est non poreuse... :hein:

[beagle]

Le fond du problème (et, il me semble l'"essence" des mathématiques), c'est que la phrase :
"Je ne vois pas comment une ligne brisée continue rejoignant deux parallèles peut être poreuse"
ne constitue pas une preuve que toute ligne brisée continue rejoignant deux parallèles est non poreuse... :hein:

idem, un carré est une figure connexe ne peut ètre admis comme cela,
que l'échiquier soit une figure connexe n'est pas prouvé au début de l'exo?

Une ligne brisée est une ligne droite pliée ici à angles droits à chaque fois de façon répétée, multiple,
où a-t-elle perdu sa continuité?

[Ben314]

idem, un carré est une figure connexe ne peut ètre admis comme cela,
que l'échiquier soit une figure connexe n'est pas prouvé au début de l'exo?

L'ENORME différence, c'est que la preuve "carrée-carrée" qu'un carré (:hum:) est connexe ben ça tient à peine1/4 de ligne donc ça peut être considéré comme... évident.
Ce n'est par contre pas le cas (preuve d'1/4 de ligne) du fait qu'une ligne brisé entre deux parallèles définit (au moins) deux composantes connexes.

[Ben314]

Tient, comme je viens d'avoir entre les mains le sujet de Capes de cet année (et que c'est aussi lié à ce que les "anciens" écrivait), il y a toute une partie (dont des références historiques) concernant la notion, et surtout la définition de continuité. Dans le lot des notes historiques, il est cité un texte de Lebesgue :
"... on avait pris en France l'habitude de définir une fonction continue celle qui ne peut passer d'une valeur à l'autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires, et l'on considérait cette définition comme équivalente à celle de Cauchy..."
Qui, à mon sens permet de voir que "les anciens" (comme tu dit) qui n'avaient pas le reflexe de se ramener à des définitoons "archi carrées", ben il écrivaient bien un peu n'importe quoi.
De plus, je suis totalement persuadé que, si tu demandait aux matheux de l'époque pourquoi les deux définitions étaient équivalentes, il te répondaient benoitement "ben,... c'est évident..."

[beagle]

je ne vais pas chipoter sur la plus grande rigueur de ce que tu as écrits sur ce fil avec également doraki, c'est une évidence.
Mais admettons comme au début du fil que j'utilise la théorie des graphes et que bingo en quelques lignes pas de chemin possible sans croisement.Tu aurais accepté (je n'ai d'ailleurs pas compris si c'était un début ou si tout y était au début de ce fil, ça donnait quoi?), ou bien tu aurais dit la théorie des graphes au moment de son élaboration acceptait des évidences qui ont été plus tard démontrées, donc je considère la démonstration à partir de la théorie des graphes comme non-moins valide , moins rigoureuse?

[beagle]

Par la théorie des graphes
je note abcd les 4 points de départ des pions (pas le carré).
je sais construire 5 arètes qui passent à l'extérieur du carré sans se couper
+ les deux arètes qui ne se coupent pas à l'intérieur du carré,
j'ai donc 7 arètes qui ne se coupent pas pour n=4
avec 4x3/2= 6 arètes attendues.

donc c'est impossible d'avoir deux arètes internes ne se coupant pas.

[Ben314]

Concernant la "théorie des graphes", elle est suffisamment récente pour que, dés le début, elle ait été à peu prés "codifiée" correctement : un graphe est une collection (éventuellement infinie" de 2 types d'objets (que l'on appelle arrêtes et sommets) tels que ... (axiomes)

Les graphes n'ont pas grand chose à voir avec de la géométrie et ne s'intéressent quasiment pas à des "problèmes d'intersection". Le seul lien "classique" que je connaisse consiste à savoir si un graphe est "planaire" ou pas (et il me semble que ce n'est très utile dans l'immense majorité des applications) et, dans ce contexte, je ne pense pas qu'on autorise des fonction continues quelconques entre les arrètes (je me demande même si tout graphe planaire sans "double arrêtes" ni "aller retour" n'est pas représentable qu'à l'aide de segments...)

P.S. Je comprend absolument pas ton "4*3/2=6 arrêtes attendues" ???

[beagle]

je recommence, j'ai lu 4 sites web sur la théorie des graphes et en diagonale,
j'ai rien retenu des trois premiers,
et tous les gens qui croient en moi doivent avoir confiance sur ma quatrième lecture.

avec n=4 j'ai 6 arètes (internes +=externes) attendues,

mais en fait elles sont impossibles dans la disposition initiale du carré,
donc dans le losange carré ABCD, points de départ-arrivée des pions,
je peux faire AB,BC,CD,DA ET AC = 5 arètes
si je savais faire un chemin DB qui ne croise pas AC, je saurais faire un graphe avec 6 arètes à partir de n=4 disposé en carré, ce qui n'est pas le cas,

il faut réorganiser le carré pour passer les 6 arètes quand n=4

Voilà , c'est fini.

Donc c'est pas des glandeurs les gars qui démontrent à base de théorie des graphes?

PS: la structure à 4 points permetant n=6 oblige à avoir un des points situé dans le triangle des trois autres,
et aucune disposition ABCD de départ arrivée sur les 4 bords de l'échiquier ne le permettra.

[Ben314]

Cherche la preuve (propre) qu'un graphe PLANAIRE contenant 4 sommet disposés tels que tu le dit ne peut avoir plus de 6 arrêtes et tu comprendra où est le problème...

[Ben314]

Pour savoir si c'est "évident" ou pas, il faudrait que tu précise ce que veut dire "tous connectés les uns aux autres" et comment tu définit un "ensemble connexe".

A priori, en prenant les définitions usuelles, c'est totalement trivial à démontrer, voire même "c'est vrai par définition de ce qu'est un ensemble connexe"...

[beagle]

Cherche la preuve (propre) qu'un graphe PLANAIRE contenant 4 sommet disposés tels que tu le dit ne peut avoir plus de 6 arrêtes et tu comprendra où est le problème...

Si la disposition de quatres points n'est pas telle qu'un des points est dans le triangle de trois autres, alors il n'est pas possible de faire 6 arètes.

la disposition telle que le nécessicite le problème ne peut avoir 6 arètes,
or s'il existait deux chemins diagonaux ne se croisant pas on aurait ces 6 arètes dans une dispostion qui l'interdit.
donc il n'existe pas deux chemins "diagonaux" sans se croiser dans la disposition des points départ-arrivée.
Voilà c'est fini démontré.
c'est ce que j'ai dit plus haut.

[nodjim]

Pour savoir si c'est "évident" ou pas, il faudrait que tu précise ce que veut dire "tous connectés les uns aux autres" et comment tu définit un "ensemble connexe".

A priori, en prenant les définitions usuelles, c'est totalement trivial à démontrer, voire même "c'est vrai par définition de ce qu'est un ensemble connexe"...

Dans le cas de notre problème, la définition de la connection est: Dans l'ensemble des cases empruntées par le pion, chaque case est voisine (par une face) avec au moins une autre case.
Et pour l'ensemble connexe, ici ce serait quelque chose comme: surface colorée d'un seul tenant (si on a colorié les cases empruntées par le pion)

[ffpower]

bon bah avec cette définition, c'est trivialement faux : il suffit de regarder 2 blocs de 2 cases disjoints pour avoir un contrexemple..

[nodjim]

Si on a une suite de cases contiguës, en retournant la suite, on a toujours une suite de cases contiguës, vu que la relation "voisin" est symétrique.

Voila. Ce que je voulais dire surtout, c'est que la surface tondue est unique, non ?