Casse-tête

[stewart]

Bonjour,
Au secours, je n'y comprends rien.

Albert et Ian sont éleveurs. Chacun a un nombre de vaches qui est un carré parfait (un entier n²=n*n avec n entier positif ou nul).

a² le nombre de vaches de Albert et i² celui de Ian.

- 97≤a²+i²≤108
- Albert a strictement plus de vaches que Ian (a²>i²)
- Chacun d'eux a au moins deux vaches
- Le nombre total de vaches a²+i² est impair

Calculer le nombre de vaches d'Albert et de Ian.

-> Les conditions sont vérifiées pour a²=81 et i²=16

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Qu'est-ce que tu ne comprends pas ?

[stewart]

Bonsoir,
Le nombre de vaches d'Albert est de 81 et le nombre de vaches de Ian est de 16. Est-ce correct ?
Merci de votre aide.

[GaBuZoMeu]

Sais-tu démontrer que c'est l'unique solution ?

[stewart]

En remplaçant b² par a², on trouve 2a²⩾97 soit a²⩾49

a² et b² étant des carrés supérieurs ou égaux à 4, la valeur maximale pour a² est 108-4 = 104, donc a²⩽100. D'où a² appartient {49, 81, 100}

b devant être un carré strictement inférieur à a, d'une part, a²=49 est impossible (97-49=48 et le seul carré qui conviendrait pour b² serait 36, mais, 49+36<97) et a²=100 aussi (b²⩽8, b²=4, 104 est pair), d'autre part, a²=81 associerait à b² 16 (81+9<97 et 81+25=106 est pair). L'unique solution est a²=81 et b²=16.

[GaBuZoMeu]

Bien.
Mais tu aurais pu signaler que cette réponse vient de yoshi :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=13032