Calculer une somme

[chan79]

Un peu de calcul
Exprimer en fonction de n la somme:

[Dlzlogic]

Bonjour Chan,
Ma proposition (pour rigoler)

Code: Tout sélectionner

#include
#include
#include
int main()
{
  printf("Calcul d'une somme (somme de 0 à n de k au cube divisé par 2 puissance k n=?\n");
  char Ligne[40];
  int n;
  gets(Ligne);
  sscanf(Ligne, "%d",&n);
  unsigned int Somme=0;
  if (n > 0)
  {
    for (int i=0; i<=n; i++) 
    {
      Somme = Somme + (int)(i*i*i / pow(2.0, (double)i) );
    }
  }
  printf("le résultat est %d\n",Somme);
  getch();
  return 0;
}

[jlb]

Salut Chan, j'ai la flemme de dérivée trois fois mais je pense être sur la bonne voie?

[jlb]

Salut Chan,
U0=0
Un=3/2 + je n'ai pas trop vérifié, il y a certainement des erreurs de calculs mais pour n=1 et n=2 cela coïncide c'est miraculeux si je ne me suis pas loupé :zen:


( bon je l'avoue, j'ai triché pour les dérivées seconde et troisième, cela devenait trop pénible :ruse:) Tu as une autre méthode?

[jlb]

salut Chan, où as-tu trouvé cette question, cela a une application pratique? Bon, j'ai trouvé une méthode avec pas mal de calculs ( à l'aide d'une série et de ses dérivées). Y a-t-il une autre méthode? Merci. [Par contre, Wolfram donne immédiatement rapidement la solution ]

[Dlzlogic]

Bon, pour être sérieux, si on écrit le k du numérateur en binaire et non en décimal, on devait réussir une mise en facteur, et ainsi retomber sur des choses plus simples.

[chan79]

salut Chan, où as-tu trouvé cette question, cela a une application pratique? Bon, j'ai trouvé une méthode avec pas mal de calculs ( à l'aide d'une série et de ses dérivées). Y a-t-il une autre méthode? Merci. [Par contre, Wolfram donne immédiatement rapidement la solution ]

J'avais été amené à calculer

et du coup, j'ai essayé de voir ce que ça donnait avec

On peut peut-être généraliser, je n'ai pas essayé.

[Skullkid]

J'avais été amené à calculer

et du coup, j'ai essayé de voir ce que ça donnait avec

On peut peut-être généraliser, je n'ai pas essayé.

Salut, on peut généraliser la méthode de jlb à n'importe quelle somme du type avec p entier naturel et x réel (différent de 1, sinon on est ramené au problème plus simple des sommes de puissances d'entiers consécutifs). Si x et p sont donnés numériquement et que p est grand, il faut avoir pas mal de temps libre (ou un programme dédié) pour obtenir la formule en fonction de n...

L'idée est de remarquer que si on pose , alors la dérivée m-ième de f_n est .

En exprimant k^p comme combinaison linéaire des , pour m entre 0 et p, on obtient quelque chose du genre , où les a_m,p sont les coefficients de la combinaison linéaire.

Genre pour p = 3, la somme vaut (qui est déjà une expression plutôt lourde si on ne donne pas de valeur numérique à x). Je ne pense pas qu'il soit possible de donner une formule générale explicite en fonction de n, x et p, mais on doit pouvoir prouver des trucs sur la forme du résultat, genre un polynôme en n et x de degrés p en n et n+p en x, divisé par (1-x)^(p+1)...

[leon1789]

On obtient

[Skullkid]

En fait si on exprime avec le binôme de Newton, et d'une autre manière en changeant d'indice, on peut obtenir une relation de récurrence. Sauf erreur de ma part :



avec . Du coup si x est donné numériquement on peut calculer les sommes de proche en proche sans avoir à passer par le calcul fastidieux des dérivées.

[chan79]

Salut, on peut généraliser la méthode de jlb à n'importe quelle somme du type avec p entier naturel et x réel (différent de 1, sinon on est ramené au problème plus simple des sommes de puissances d'entiers consécutifs). Si x et p sont donnés numériquement et que p est grand, il faut avoir pas mal de temps libre (ou un programme dédié) pour obtenir la formule en fonction de n...

L'idée est de remarquer que si on pose , alors la dérivée m-ième de f_n est .

En exprimant k^p comme combinaison linéaire des , pour m entre 0 et p, on obtient quelque chose du genre , où les a_m,p sont les coefficients de la combinaison linéaire.

Genre pour p = 3, la somme vaut (qui est déjà une expression plutôt lourde si on ne donne pas de valeur numérique à x). Je ne pense pas qu'il soit possible de donner une formule générale explicite en fonction de n, x et p, mais on doit pouvoir prouver des trucs sur la forme du résultat, genre un polynôme en n et x de degrés p en n et n+p en x, divisé par (1-x)^(p+1)...

Ok et merci pour tout ça.
J'avais fait simplement ceci:
D'abord


La première somme est téléscopique et la seconde est simple à calculer. On arrive à :




Ensuite



On a encore une somme téléscopique et on utilise le résultat précédent.

On obtient

Et enfin, de la même façon avec



on arrive au résultat demandé :



Au passage, on voit que la limite est 26