Calcul d'une (petite) somme

[benekire2]

Exercice qui m'a été soumis ( j'y réfléchis encore ) :

Calculer avec [TEX]3$ 1\le p n

Amusez vous bien ! :we:

[Ben314]

Bon, je trouve Sn=1/2 dés que n>=2, mais ma méthode demande un peu de calculs...

[benekire2]

Perso j ai fait la meme conjecture mais je n arrive pas a le prouver. Peut tu me filler une indic pour moi et ceux qui cherchent stp?
merci!

[Euler07]

Toujours l'esprit de l’arithmétique Benekire ^^

[Ben314]

La façon dont j'ai procédé :
Tu commence par écrire que S_(n+1) - S_n = ("nouveau" termes qui apparaissent dans S_(n+1))-(termes de S_n qui disparaissent).
La première somme est trés simple : il faut que q=n+1 et que p soit tel tel que ...
Tu coupe ta somme en deux (p<(n+1)/2 et p>(n+1)/2) et tu constate que p<->(n+1-p) permet de passer de l'une à l'autre des deux découpes.
Tu regroupe tes deux sommes à l'aide de cette constatation et, miracle tu tombe sur la somme correspondant aux termes de S_n qui disparaissent...

[Doraki]

J'allais dire que par récurrence c'était facile vu que
si p+q = n avec pgcd(p,q)=1,
-1/pq + 1/pn + 1/qn = (-n+q+p)/pqn = 0

[benekire2]

Ok, merci à vous, j'ai conclu assez rapidement au final , il "suffisait" de regarder le truc droit dans les yeux.

En tout cas pour ceux qui veulent chercher, je regrette pas de l'avoir posé, c'est marrant comme exo :ptdr: