Un calcul de puissance

[lapras]

Salut,
On pose
On voit que x est racine du polynôme, ainsi que :

On introduit la suite d'entiers telle que :

On trouve (équation caractéristique) des constantes , ,, telles que :

comme 1982 est pair ca nous arrange, on aura
est entier, or
en passant à la partie entière ca devrait bien se passer.
Fausse piste ?

[scelerat]

Serait-il interessant de remarquer que ca fait et que ?

[Zweig]

Question subsidiaire : 1980 à l'Olympiade Internationale de Mathématiques

Sinon pour l'exo en lui-même :

On pose et . Alors le nombre est en entier. En effet : pour un certain entier naturel .

D'après le binôme de Newton :

On a , donc 6 est le dernier chiffre de . En lui soustrayant le très petit nombre , on obtient alors A = ....5,9...., sauf erreurs.

[ffpower]

Ou p-e faire comme les nb de pisot,utiliser que est entier..
Sinon,j ai p-e une piste pour la question subsidiaire,mais je ne suis pas sur..

EDIT:dépassé de 2 minutes,scandaleux..

[leon1789]

Ou p-e faire comme les nb de pisot,utiliser que est entier..

oui, bonne idée !!

donc (et encore je suis gentil)
donc la première décimale (et plein d'autres en réalité) vaut 9.

Il reste à calculer le chiffre de la partie entière de .
On peut calculer modulo et .

c'est-à-dire modulo et (et là, c'est immédiat)

On obtient

Et comme (calculette)
on voit que le chiffre des unités est 9.

[leon1789]

oui, bonneS idéeS vous avez !!

est un entier.

donc (et encore je suis gentil)
donc la première décimale (et plein d'autres en réalité) de vaut 9.

Il reste à calculer le chiffre de la partie entière de ,
c'est-à-dire

et sont racines de

On pose , donc

On peut calculer modulo et .

c'est immédiat :

Le chiffre des unités est 9.