[Défi] Calcul de primitive

[Zweig]

Bonsoir,

J'accentue plus ce défi sur le côté calculatoire que théorique. Ainsi, nous admettrons les résultats suivants.

i) Soit à calculer . On effectue le changement de variable suivant : , avec une fonction continue, de dérivée continue et admettant une réciproque. Alors et alors :



Il convient alors de choisir judicieusement de sorte que le membre de droite soit facilement calculable.

ii) Règles de Bioche. Soit une fraction rationnelle en les variables et . On désire calculer .
On pose .

• Si , alors on fait le changement de variable
• Si , alors on fait le changement de variable
• Si , alors on fait le changement de variable

iii) On définit les fonctions (sinus hyperbolique), (cosinus hyperbolique) et (tangente hyperbolique) par :

• , bijection de dans
  
  , bijection de dans
• , bijection de dans

On vérifie les identités suivantes :

• 
• 
• 

iv)

• 
• 

v) On pose . Alors :

• 
• 
• 

I - Primitives classiques

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

II - Polynôme en et

a)

b)

c)

III - Fraction rationnelle en et

a)

b)

c)

d)

e)

IV - Divers

a)

b)

c)

d)

e)

[benekire2]

Salut !
Je regarderais un petit peu plus tard dans la journée. Pour le II il faut linéariser puis intégrer.

Pour le I, c'est assez "classique" ( enfin pas pour un lycéen ... )

Pour le premier j'ai factoriser par a² puis poser y=x/a la suivante c'est argch puis argch. La d on écrit de manière exponentielle. La e c'est tan, la f c'est argth(cos) la g je trouve arccos(sinx) la h, arcos(cosx) , la dernière j'intègre par parties.

Question, pour la b et c tu attendais argch et argsh comme réponse ou tu attendais qu'on fasse autrement ...

[Zweig]

Salut,

J'attendais plutôt à ce qu'on exprime le résultat en fonction de en faisant mine de ne pas connaître ces fonctions réciproques.

Pour f), non c'est -
Pour g) et h), je trouve et . Je ne vois pas comment tu fais apparaître les réciproques des fonctions circulaires ...

Pour le II, les deux premiers peuvent se faire sans linéariser, vois comment.

[benekire2]

effectivement, j'ai parlé un peu vite , j'ai pas fait de changement de variable correctement ...

[Billball]

Pour le II, les deux premiers peuvent se faire sans linéariser, vois comment.

t'aurais du mettre du degré 8 et 9 :happy2:

[benekire2]

Pour la I,b on doit trouver ln(x+racine(x²-1)) sauf que :

Je pose x=ch(u) et donc ça revient a calculer i.e 3$ avec t=e^u et donc je trouve sauf que quand je rétablis les variables j'arrive pas au résultat.

Quelqu'un pourrait-il m'aider svp ?

[Zweig]

Salut,

Si on pose x = ch u, alors dx = sh u du et l'intégrale vaut alors . Reste plus qu'à exprimer u en fonction de et

[benekire2]

oula, oui effectivement !! Elle était là mon erreur ! Merci !

[benekire2]

J'attaque la patie III qui je croit se fait uniquement par changement de variable avec la règle de bioche.

Par contre tout à l'heure en faisant la IV e) je me demande comment il faut faire, j'ai rien trouvé du tout.

Quelqu'un pour me dire comment faire :doh: ?

Merci !

[Zweig]

Pour le III en effet, pas d'IPP par exemple, seulement des changements de variables (parfois plusieurs pour une même intégrale).

Le IV est en effet un peu plus délicat ... Prenons par exemple le a). Il me semble naturel de faire le changement de variable suivant afin de "supprimer" le arccos. Maintenant deux méthodes sont possibles : soit une double IPP soit en utilisant le fait que

PS : Désolé j'ai lu trop vite, j'ai cru que tu demandais de l'aide pour les intégrales en général du IV. Pour le e), fais le changement de variable

[benekire2]

Ok merci, j'ai obtenu une fraction rationnelle puis j'ai décomposé en éléments simples et intégrer.

Pour la d c'est assez immédiat, et la b j'ai posé u=x^(1/6) puis j'en ai chié pour la DES ...

Je regarde la c. Mais je pense qu'il va falloir fair beaucoup de changements de variable ...

[Black Jack]

En voici quelques unes.

En blanké, sélectionner avec la souris pour lire.

I

a)
S dx/(a²+x²)
Poser x = at dx = a dt
(1/a) S dt/(t²+1) = (1/a).arctg(t) = (1/a).arctg(x/a)
********

b)
1/V(x²-1) = 1/V((x-1)(x+1))
1° si x > 1:
1/V(x²-1) = [1/(x+1)]/V((x-1)/(x+1))
Poser (x-1)/(x+1) = t²
(x-1-x-1)/(x+1) = t²-1
-2/(x+1) = t²-1
x+1 = -2/(t²-1)
dx = 4t/(t²-1)² dt

1/V(x²-1) dx = -[(t²-1)/2]/t * 4t/(t²-1)² dt
1/V(x²-1) dx = -2/(t²-1) dt
1/V(x²-1) dx = -1/(t-1) dt + 1/(t+1) dt

S 1/V(x²-1) dx = ln|(t+1)/(t-1)|
S 1/V(x²-1) dx = ln|(V((x-1)/(x+1))+1)/(V((x-1)/(x+1))-1)|

2° si x on est ramené au cas 1g
Poser sin(t) = u --> cos(t) dt = du
S dt/cos(t) = S cos(t) dt/cos²(t) = S du/(1-u²) = (1/2).S du/(1-u) + (1/2).S du/(1+u) = (1/2).ln|(1+u)/(1-u)| = (1/2).ln|(1+sin(t))/(1-sin(t))|
S dx/V(1+x²) = (1/2).ln|(1+x/V(x²+1))/(1-x/V(x²+1))|
S dx/V(1+x²) = (1/2).ln|(x + V(x²+1))/(V(x²+1) - x)|
********
d)
S a^x dx (a>0, a diff 1)
Immédiat:
S a^x dx = (1/ln(a)).a^x
********
e)
Immédiat
S dx/cos²(x) = tg(x)

********
f)
Immédiat
S dx/sin²(x) = -cotg(x)
********
g)
voir cas c.
S dx/cos(x) = (1/2).ln|(1+sin(t))/(1-sin(t))|
********
i)
S ln(x) dx
Poser ln(x) = u --> dx/x = du et poser dx = dv --> v=x
S ln(x) dx = x.ln(x) - S (x/x) dx = x.ln(x) - x
S ln(x) dx = x(ln(x) - 1)
********

:zen: