Calcul à la main d'une fraction élevée à la puissance 50

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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anthony_unac
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Calcul à la main d'une fraction élevée à la puissance 50

par anthony_unac » 25 Mar 2017, 18:32

Bonjour,

Vu dernièrement sur un autre forum, le défi consiste à calculer à la main et de donner le résultat approché au dixième près.
J'ai hâte de voir vos réponses entre ceux qui vont donner une technique efficace, ceux qui vont donner quelque chose d'élégant et puis y aura les bourrins (comme moi).
Modifié en dernier par anthony_unac le 25 Mar 2017, 19:08, modifié 1 fois.



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Ben314
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Re: Calcul à la main d'une fraction élevée à la puissance 50

par Ben314 » 25 Mar 2017, 18:45

Salut,
anthony_unac a écrit:Vu dernièrement sur un autre forum, le défi consiste à calculer à la main et de donner le résultat exact au dixième près.
Énoncé toujours aussi futé. Je me demande bien quel sens tu donne aux termes "exact" et "au dixième prés" pour arriver à les accoler l'un derrière l'autre sans que ça semble te perturber plus que de raison...
Sinon,
- Si le but est de trouver la valeur au dixième prés de (14/15)^50, alors c'est pas bien la peine de se lancer dans des calculs : ça va clairement être 0,0 et il y a 36 000 façon de le justifier a mon avis y compris avec du simple calcul mental et ni papier ni crayon.
-Si le but est de trouver la valeur exacte de (14/15)^50, alors déjà, il faudrait s'entendre en ce qui concerne la forme sous laquelle on veut le résultat : sous forme de fraction (donc il faut se taper le calcul de 14^50 et de 15^50) ou écriture sous forme d'écriture décimale illimitée (vu que c'est évidement pas un rationnel) dont on donne la période.
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nodgim
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Re: Calcul à la main d'une fraction élevée à la puissance 50

par nodgim » 25 Mar 2017, 21:25

@Ben: Au 1/10 près, sous entendu x +- (x/10), et non pas x +-1/10. Du moins pour ce que je comprends, mais il faudrait qu'Antony confirme.

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WillyCagnes
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Re: Calcul à la main d'une fraction élevée à la puissance 50

par WillyCagnes » 25 Mar 2017, 22:12

bsr

peut-être en passant par le developpement de (14/15)^50 = (1-1/15)^50 soit en posant x=1/15
(1-x)^50=1-50x/1! +50(49)x²/2! +....

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Ben314
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Re: Calcul à la main d'une fraction élevée à la puissance 50

par Ben314 » 25 Mar 2017, 22:31

Perso, je vois deux méthode réalisable à la main et sans trop de calcul pour avoir le résultat avec 10% de précision
- Passer par les log (je sais pas quelle est la base la plus adaptée)
- Faire un calcul brutal et direct vu que 50 c'est pas très grand : si x=14/15 alors
--
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anthony_unac
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Re: Calcul à la main d'une fraction élevée à la puissance 50

par anthony_unac » 25 Mar 2017, 22:45

WillyCagnes a écrit:bsr

peut-être en passant par le developpement de (14/15)^50 = (1-1/15)^50 soit en posant x=1/15
(1-x)^50=1-50x/1! +50(49)x²/2! +....


Bonsoir Willy,

Vous exploitez la formule du binome ici, c'est bien ça ?

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anthony_unac
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Re: Calcul à la main d'une fraction élevée à la puissance 50

par anthony_unac » 25 Mar 2017, 22:48

nodgim a écrit:@Ben: Au 1/10 près, sous entendu x +- (x/10), et non pas x +-1/10. Du moins pour ce que je comprends, mais il faudrait qu'Antony confirme.

L'idée c'était de calculer la première décimale tout bêtement ;)

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Re: Calcul à la main d'une fraction élevée à la puissance 50

par nodgim » 26 Mar 2017, 09:49

Soit a, la fraction 14/15
On va faire successivement a², a^4 , a^8 , a^16 , a^32 , a^48 , a^50.
La tolérance finale est 1/10, or quand on multiple 2 intervalles de tolérance, le résultat est la somme des intervalles. Comme on fait 7 opérations, l'intervalle est multiplié par 2^7. Pour être sûr d'obtenir 1/10 au final, il faut assurer au départ 0,1/128 = moins de 1/1000. Il faut donc faire les opérations avec 4 chiffres significatifs.

a = 9333 * 10^-4
a²= 8710 * 10^-4
a^4 = 7586 * 10^-4
a^8 = 5755 * 10^-4
a^16 = 3312 * 10^-4
a^32 = 1097 * 10^-5
a^48 = 3633 * 10^-5
a^50 = 3164 * 10 ^5.

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Re: Calcul à la main d'une fraction élevée à la puissance 50

par Pseuda » 26 Mar 2017, 11:01

Bonjour,
Ben314 a écrit:-Si le but est de trouver la valeur exacte de (14/15)^50, alors déjà, il faudrait s'entendre en ce qui concerne la forme sous laquelle on veut le résultat : sous forme de fraction (donc il faut se taper le calcul de 14^50 et de 15^50) ou écriture sous forme d'écriture décimale illimitée (vu que c'est évidement pas un rationnel) dont on donne la période.

(14/15)^50 pas un rationnel ? J'ai dû louper quelque chose. Ecriture décimale illimitée, oui d'accord vu que ce n'est pas un décimal.

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Re: Calcul à la main d'une fraction élevée à la puissance 50

par nodgim » 26 Mar 2017, 11:03

C'est ce qu'il a voulu dire. Heureusement, la tolérance du résultat permet de limiter cette écriture.

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Re: Calcul à la main d'une fraction élevée à la puissance 50

par nodgim » 26 Mar 2017, 13:05

anthony_unac a écrit:
nodgim a écrit:@Ben: Au 1/10 près, sous entendu x +- (x/10), et non pas x +-1/10. Du moins pour ce que je comprends, mais il faudrait qu'Antony confirme.

L'idée c'était de calculer la première décimale tout bêtement ;)


Ben ça, on ne peut pas te le garantir avec 1/10. Si le résultat est par exemple 3,5, c'est bon, 3;5 +-0,35 commencera par 3, mais si c'est 3,9 ou 3,1, le premier chiffre n'est pas certain.

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Re: Calcul à la main d'une fraction élevée à la puissance 50

par Ben314 » 26 Mar 2017, 13:39

anthony_unac a écrit:L'idée c'était de calculer la première décimale tout bêtement ;)
Bon, ben à force, il faudrait finir par s'entendre sur l'énoncé.
Si le but est de calculer la première décimale (= précision absolue) et pas le premier chiffre significatif (=précision relative), alors, comme je l'ai déjà dit, c'est pas la peine de sortir un papier : ça sera un 0 et ça se fait "de tête".

Et il me semble quand même que, si on veut faire des maths même à un niveau on ne peut plus élémentaire, le mini du mini, c'est de comprendre la distinction entre la notions de précision absolue et de précision relative.
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Re: Calcul à la main d'une fraction élevée à la puissance 50

par Ben314 » 26 Mar 2017, 18:29

anthony_unac a écrit:Tu cherches sans cesse des complications la ou il n'y en a pas.
Non, je reconnais qu'il faut vraiment être le dernier des "cherche la merde" pour faire une différence différentier un truc précis à 10% prés d'un truc précis à 10cm près. . .

Je te rappelle qu'ici, c'est un forum DE MATH, où, me semble t'il on demande à ce que les post. aient un minimum de cohérence mathématique et que ce ne soit pas un ramassis de n'importe quoi sans queue ni tête comme tu nous en pond régulièrement.

Et juste pour voir si je suis le seul à rien comprendre, j'aimerais bien un petit "sondage" concernant ceux qui lisent ce fils pour savoir, au point ou on en est, qui comprend l'énoncé dans le sens qu'on cherche la première décimale du nombre et qui le comprend dans le sens qu'on cherche le premier chiffre significatif du nombre.
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anthony_unac
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Re: Calcul à la main d'une fraction élevée à la puissance 50

par anthony_unac » 26 Mar 2017, 18:46

Mais arrete un peu, tu emmerdes sans cesse le monde, le dernier gars que tu as pris en grippe pour une histoire de racine carré en est la preuve, une de plus.
Tu te sers des maths pour te défouler et c'est de pire en pire !
Aujourd'hui tu es devenu une espece de réac. psycho rigide qui ne supporte plus le monde qui t'entoure. A t'entendre, les livres sont mal faits, les enseignants enseignent de la merde, les jeunes sont idiots et les intervenant du forum manquent systématiquement de rigueur dans leur manière d'écrire.
Au bout d'un moment, il faut que tu te reconnectes un peu avec le monde qui t'entoure.
Sors un peu au lieu d'être en boucle car tu vas finir seul, aigri et totalement désociabilisé.

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Re: Calcul à la main d'une fraction élevée à la puissance 50

par nodgim » 26 Mar 2017, 18:59

C'est à dire que Ben est tellement au dessus du lot sur ce site qu'il tue les problèmes. Mais bon, en même temps, ça donne de la crédibilité à ce site. Et s'il donne parfois dans la mauvaise foi, c'est pour bien mettre le doigt sur les flous de l'énoncé, car malgré tout il a souvent objectivement raison.

Sinon, comme 1/10 en tolérance relative n'est pas suffisant pour conclure, j'ai recommencé avec 1/32 et là on est sûr du 0,03. Donc, je ne sais pas comment les autres ont fait, mais s'ils n'ont pas eu cette démarche (essai avec une 1ère tolérance, puis une autre plus fine), il y a fort à parier qu'ils ont soit un peu triché (car le résultat attendu est connu) soit calculé trop fin. Par ailleurs, la taille des nombres doit diminuer au fur et à mesure des calculs. Finalement, c'est surtout un problème de contrôle des tolérances. Dans tous les sens du terme....

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Re: Calcul à la main d'une fraction élevée à la puissance 50

par Ben314 » 26 Mar 2017, 19:24

Concernant un tel problème "avec des vrai chiffres", où l'exposant est relativement petit et ou on doit faire les calculs à la main, je crois que perso., j'aurais tendance à faire du "zéro théorique" concernant la tolérance, c'est à dire à écrire de simples inégalités du style ???<(14/15)^4<??? et à regarder au final si je suis assez précis pour conclure ou pas (modulo d'avoir compris quelle était la précision attendue pour le résultat, of course...)
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Re: Calcul à la main d'une fraction élevée à la puissance 50

par Pseuda » 26 Mar 2017, 20:24

Je crois surtout que Ben314, comme il le dit lui-même, aime la polémique, et le tout c'est de ne pas tomber dans son piège (je parle d'expérience). Mais c'est vrai, Ben314, que tu n'as pas l'air de beaucoup t'aérer (tout le temps sur ce forum, pour le bienfait du supérieur ;) ).

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Re: Calcul à la main d'une fraction élevée à la puissance 50

par Ben314 » 26 Mar 2017, 20:36

Pseuda a écrit:Mais c'est vrai, Ben314, que tu n'as pas l'air de beaucoup t'aérer. . .
C'est... on ne peut plus vrai... : depuis un certain temps, je ne fait absolument plus RIEN à part un peu de math. et en particulier je ne met absolument jamais le nez dehors.
Mais je ne pense pas vraiment que ce soit l'endroit où discuter des problèmes de "vie privée", non ?
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Re: Calcul à la main d'une fraction élevée à la puissance 50

par zygomatique » 26 Mar 2017, 21:00

salut

je suis ni pour ni contre, bien au contraire :mrgreen: ... mais tout de même avec ben314 ...

mais bon tout de même :

anthony_unac a écrit:Bonjour,

Vu dernièrement sur un autre forum, le défi consiste à calculer à la main et de donner le résultat approché au dixième près.
J'ai hâte de voir vos réponses entre ceux qui vont donner une technique efficace, ceux qui vont donner quelque chose d'élégant et puis y aura les bourrins (comme moi).

ce que je comprends (d'après ce que je sais .... d'après ce que j'ai appris):

un résultat approché au dixième est toute valeur approchée v de x telle que |x - v| < 0,1 (*) et on peut donner 1000000000000 décimales toutes aussi farfelues que l'on veut du moment que (*) est vérifiée

un résultat approché arrondi au dixième est une valeur décimale avec un chiffre après la virgule v telle que |v - x| < 0,1 ... en en général il y en a deux : la troncature de x = valeur approchée par défaut et la valeur approchée par excès (bien sur au dixième) (les physiciens disent souvent "avec un chiffre significatif"

ici ce qu'on demande donc est la troncature de x au dixième = valeur approchée de x avec une décimale exacte


ce me semble-t-il ...


mais on voit tellement d'énoncés foireux ou qui ne veulent rien dire ...
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

Pseuda
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Re: Calcul à la main d'une fraction élevée à la puissance 50

par Pseuda » 27 Mar 2017, 10:00

Bonjour,

@Ben314. Non bien sûr. Mais on s'inquiète pour la vedette (affichée) du forum. Je ne sais pas si tu inclus dans le "rien" ton activité dans ce forum, ou si tu l'inclus dans "un peu de maths", mais dans les 2 cas, ce n'est pas "rien" ou "un peu" pour les intervenants ici ???

Bonne journée.

 

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