Calcul différentiel dans un triangle
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URemery
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par URemery » 22 Mar 2017, 23:17
Bonsoir tout le monde !
Une khôlle de calcul diff :
On dispose d'un triangle (ex celui de sommets (0,0) (3,0) (1,2)), on place un point à l'intérieur de ce triangle. Où doit on le placer pour maximiser la somme des distances à chaque sommet ? Et le produit ?
Bonne réflexion !
Borne sup, maths spé !
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Lostounet
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par Lostounet » 22 Mar 2017, 23:37
URemery a écrit:Bonsoir tout le monde !
Une khôlle de calcul diff :
On dispose d'un triangle (ex celui de sommets (0,0) (3,0) (1,2)), on place un point à l'intérieur de ce triangle. Où doit on le placer pour maximiser la somme des distances à chaque sommet ? Et le produit ?
Bonne réflexion !
Salut,
Il s'agit de minimiser dans ce cas la somme:
S = x^2 + y^2 + (x - 3)^2 + y^2 + (x - 1)^2 + (y - 2)^2
S = 1/3 (3 x - 4)^2 + 1/3 (9 y^2 - 12 y + 26)
S = 1/3 (3x - 4)^2 + 1/3(3 y - 2)^2 + 22/33
Vu comme ceci, le minimum est atteint au point (x;y) = (4/3 ; 2/3)
Euh j'ai mal lu la question... tu veux "maximiser" ou bien "minimiser la distance" ?
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Ben314
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par Ben314 » 22 Mar 2017, 23:44
Salut,
Concernant la somme, c'est assez élémentaire : si le point est strictement à l'intérieur du triangle, en regardant localement la façon dont varie les distances aux trois points, on voit que le seul point susceptible d'être un extrémum local est celui d'où on voit les 3 sommets sous des angles de 120°.
Sauf que ce point est bien connu, c'est le point de point de Torricelli et il minimise la somme des distance (très facile à démontrer)
Donc le max. est atteint sur un des cotés du triangle. Or si M décrit par exemple le segment [AB] alors MA+MB est constant (=AB) donc le max est atteint lorsque MC est maximum donc en A ou en B.
Donc le max est atteint en l'un des 3 sommet et c'est bien évidement celui opposé au coté le plus petit (= celui où l'angle est le plus faible)
Pour le produit, ça me semble un peu moins évident.
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Lostounet
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par Lostounet » 23 Mar 2017, 00:09
Ben314 a écrit:
Pour le produit, ça me semble un peu moins évident.
Soit z l'affixe du point M.
Soient a, b, c ceux de A, B et C.
f(z) = (z - a)(z - b)(z - c) est holomorphe sur C car polynomiale, et si |f(z)| atteint son pic à l'intérieur du triangle, alors f est constante, ce qui n'est pas le cas ..(sauf si z=a=b=c)
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chan79
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par chan79 » 23 Mar 2017, 15:12
Lostounet a écrit:
Il s'agit de minimiser dans ce cas la somme:
S = x^2 + y^2 + (x - 3)^2 + y^2 + (x - 1)^2 + (y - 2)^2
salut Lostounet
Je crois bien que tu as minimisé la somme des carrés des distances, ce qui fait que tu obtiens le centre de gravité du triangle.
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URemery
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par URemery » 23 Mar 2017, 19:14
Salut tout le monde !
C'était en effet des maximum qui étaient demandés à l'origine, mais des minimums ca peut être intéressant aussi !
C'est une khôlle de maths spé sur le cours de calcul différentiel donc on était plutôt partis pour des calculs assez lourds de gradients .... c'est aussi pour ca que je pose cette khôlle ici, car il y a peut-être plus efficace que des calculs taupinesques !
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Lostounet
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par Lostounet » 23 Mar 2017, 19:27
chan79 a écrit: Lostounet a écrit:
Il s'agit de minimiser dans ce cas la somme:
S = x^2 + y^2 + (x - 3)^2 + y^2 + (x - 1)^2 + (y - 2)^2
salut Lostounet
Je crois bien que tu as minimisé la somme des carrés des distances, ce qui fait que tu obtiens le centre de gravité du triangle.
C'est vrai. On peut dire que j'ai transformé l'énoncé ...
Bon, dans le contexte du calcul diff, je vois pas comment on pourrait échapper à l'annulation du gradient de:
Trop laborieux sans une astuce (par exemple en regardant la droite y = 2 - x ?)
Je change de stratégie... Puisque j'ai déjà trouvé le centre de gravité, on peut peut-être plonger le triangle ABC dans un triangle équilatéral (dans lequel on sait que le point de Fermat coïncide avec le centre de gravité...).
Par contre il faut bien distinguer max et min... car je pense qu'il y a des problèmes de différentiabilité aux sommets du triangle.
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Ben314
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par Ben314 » 23 Mar 2017, 21:42
A mon sens, c'est à travers ce type de problème que tu vois les limites de la théorie qu'a bâtie Descartes avec la notion de repère est de coordonnés. Ne pas oublier qu'avant lui tout ce faisait sans repère, ni équation et que ça n'empêchait pas les matheux de "calculer" (ou plutôt de "construire") par exemple les tangentes à des trucs passablement compliqués style cardioïde ou cycloïde.
Bref, à mon avis, dans un tel contexte, le fait de poser un repère et de travailler avec des coordonnées et des fonctions (donc des gradients) c'est plus un handicap qu'autre chose et il vaut mieux en revenir à du "pur géométrique" pour montrer que le(s) point(s) qui minimisent/maximisent la somme des distances sont ceux d'où on voit les trois points sous un angle de 120° (et le fait que la "condition simple" s'exprime en terme d'angle permet de bien voir que l'utilisation d'un repère cartésien est pas du tout intelligente dans un tel contexte)
Par contre, effectivement, en ce qui concerne le produit, c'est infiniment plus efficace d'utiliser du "calcul" vu que ça donne le résultat en un clin d'œil.
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par URemery » 23 Mar 2017, 22:18
Je suis assez d'accord avec toi Ben ! Ce type de problème est extrêmement compliqué a résoudre avec les outils cartésiens. On est tellement habitués a utiliser ce type de raisonnement (enfin pour ma part, mais je suis novice) qu'on ne pense même pas a chercher des solutions autrement, s'en est même difficile car on n'y est pas habitué.
Cela montre d'ailleurs bien l'importance de l'approche d'un problème et le facteur primordial qu'est le point de vue même d'un mathématicien dans la résolution d'un problème.
Pourtant ce problème est très simple, alors j'ose pas imaginer ce que c'est pour un problème du millénaire !
Cela me fait d'ailleurs penser à la demo du dernier Théorème de Fermat par Wiles car il me semble qu'on est loin de l'arithmétique primaire dans laquelle s'énonce le theorème ...
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