Un bon ou un mauvais infini ?

[Imod]

Un exercice amusant que je vous laisse essayer :zen:

On sait que l'infini réserve plein de surprises et qu'il ne se comporte pas toujours comme on voudait . Un bon ou un mauvais exemple ?

Soit un ensemble et une fonction de dans . On note , , , ... , . D'autre part on définit l'image à l'infini de par : .

A-t-on ?

Imod

[_-Gaara-_]

Salut Imod,

j'apprécie ce problème car je le comprends ! :we:

bon je cogite :happy3:

[_-Gaara-_]

Juste une petite question ^^

??

[Imod]

En fait l'intersection est infinie mais on se ramène au plancher des vaches en disant que si appartient à quel que soit l'entier .

Imod

[lapras]

sauf erreur, je pense avoir montré que f(B) = B.
(preuve par l'absurde en reprenant les définitions)

[Imod]

Tu peux détailler un peu STP ?

Imod

[lapras]

Pardon
j'ai juste montré que f(B) contenu dans B
supposons qu'il existe dans B et non dans B tels que

par définition, tel que n'appartient pas à
et toujours par définition => pour un certain .
=> absurde
donc

[Imod]

Oui Lapras :++:

Reste l'inclusion inverse ! Peut-être en comment par le cas ou A est fini !

Imod

[Flodelarab]

Ben intuitivement OUI. Forcément

Comme on a dans tout A (a cause de f^0(A) )


Je ne comprends pas la question.

[Skullkid]

Bonjour (sans doute la première fois que je m'essaye à un problème d'Imod, me frappez pas si je dis des âneries :ptdr:)

Sauf erreur, dans le cas où A est fini, , on prend . Par définition : .

Or, A étant fini, il existe et une suite d'entiers strictement croissante tels que : . D'où .

Après, dans le cas A infini, je vois pas. La notation laisse penser que c'est toujours vrai, et j'ai pas réussi à trouver de contre-exemple, je continue de chercher

[Imod]

Ca semble juste Skullkid mais je suis plus habitué à raisonner directement sur les ensembles .

Pour la démo de Lapras :



Pour la tienne , comme est fini :



Alors .

Mais bon ça marche aussi très bien avec les élements des ensembles .

Reste le cas ou est infini . Pour ne pas vous laisser tourner en rond trop longtemps , l'égalité est fausse en général . Qui trouvera un contre-exemple ?

Imod

[Flodelarab]

Flo, toujours ennemi du moindre effort, dit que n'existe pas (enfin, pas forcément)

En effet, si f est une fonction qui a tout élément de son ensemble de départ associe une image unique dans l'ensemble d'arrivée sauf pour deux éléments de départ donnant la même image, alors l'ensemble des images contient TOUJOURS un élément de moins que l'ensemble des antécédents.
Or le nombre d'éléments de A est infini. Donc n'est pas déterminable. et la propriété n'a pas de sens. Au passage, même si on passait outre, f(B) serait toujours plus petit que B. donc pas égal.

[Skullkid]

En effet, si f est une fonction qui a tout élément de son ensemble de départ associe une image unique dans l'ensemble d'arrivée sauf pour deux éléments de départ donnant la même image, alors l'ensemble des images contient TOUJOURS un élément de moins que l'ensemble des antécédents.

J'ai un peu de mal à comprendre. Tu penses à une fonction du genre , avec ? contient bien un élément de moins que , mais ça s'arrête là et on a .

Tu veux une fonction qui à chaque fois "choisisse" deux éléments dans l'ensemble de départ et les envoie sur le même ? Auquel cas, il me semble que ce n'est pas une itération de la même fonction que tu appliques, mais bien deux fonctions différentes...

En poursuivant mon exemple ci-dessus - toujours en supposant que j'aie compris ce que tu voulais dire - partant de , tu veux que f "retire" à nouveau un élément de l'ensemble de départ, par exemple 1. Sauf que l'image de 1 a déjà été définie, de même que l'image de tout élément de ]0,1]. (Désolé si je m'exprime pas très clairement...)

[Flodelarab]

Ce n'est pas moi qui vais te reprendre pour l'expression puisque j'ai eu la flemme de poster un schéma pour être plus clair.

Je n'avais pas pensé à un f spécialement, mais je raisonnais sur l'ensemble et son nombre d'éléments. Mais si tu veux un f concret, cela pourrait etre celui ci:

Soit
et

on a donc




etc ...

B n'existe pas.

[lapras]

Ok flodelarab tu as trouvé f telle que B = ensemble vide
mais on a bien
f(ensemble vide) = ensemble vide
d'où f(B) = B

[Flodelarab]

Ok flodelarab tu as trouvé f telle que B = ensemble vide

Ensemble vide ???? Non mais tu plaisantes. Mon ensemble de départ et mon ensemble d'arrivée ont toujours une infinité de valeurs.

Il est où ton ensemble vide ?

[Skullkid]

Je suis d'accord avec lapras, B est l'ensemble vide. Même si les sont toujours infinis, leur intersection est vide. En effet, si B n'était pas vide, un élément x de B appartiendrait à tous les , ce qui est impossible puisque n finira bien par dépasser x.

Cela dit, je reste perplexe quant à la définition de ta fonction. Une fonction est-elle "capable" de reconnaître l'ensemble sur lequel elle s'applique ? En gros ce qui me gêne c'est qu'à la première application, 1 est envoyé sur 1, mais après il est envoyé sur 2, ça ne me semble pas correspondre à la définition d'une fonction...

Enfin toujours est-il qu'on peut éviter ce problème puisque, sauf erreur, la fonction avec produit le même effet.

[Flodelarab]

En effet, si B n'était pas vide,(...)

Aïe, aïe, aïe! Pour moi tu es en train de faire une erreur qu'on résume souvent par "L'ensemble vide a toutes les propriétés"

"Tous les Hackers qui ont détruit MathForum sont suédois"
C'est vrai. On ne peut pas trouver de hacker qui ont détruit MathForum qui ne soient pas suédois. Forcément, personne n'a détruit MathForum ...

Je te dis que B n'existe pas et tu résonnes sur B ... évidemment, tu arrives à montrer une absurdité. Mais c'est un raisonnement absurde et non par l'absurde.

[Skullkid]

Hum, je ne vois pas en quoi la phrase "Tous les Hackers qui ont détruit MathForum sont suédois" est fausse. De par ta justification, elle est vraie, je pense pas que le fait de dire que l'ensemble vide a toutes les propriétés soit une erreur... enfin je suppose que cette question est un peu délicate, et comme je ne suis pas compétent en logique...

Je vais essayer de reprendre ma démonstration d'un autre point de vue, la définition de B est la suivante :


Soit . Il existe tel que n > x. Donc . Ainsi, . D'où B est vide.

[Flodelarab]

Tu m'as bien compris. La phrase est juste et l'ensemble vide a bien toutes les propriétés

D'où B est vide.

Ou B n'existe pas.

Je fais un raisonnement identique au tien:
Le pere noel a des pouvoirs extraordinaires et fait ce qu'il veut.
Le pere noel fait des cadeaux aux enfants sages.
Bobby est un enfant (orphelin).
Bobby a été sage.
Bobby demande au père noel de faire revenir sa maman qui lui manque tant.

Mais la maman de Bobby ne revient pas.

Toi tu conclus: Le pere noel est une ordure.
Moi je conclus: Le pere noel n'existe pas.