Défi 1: Bolzano Weirstrass upgradé

[ffback]

Salut!
Ca fait longtemps, que je ne suis passé sérieusement sur ce forum, mais j'ai eu envie de repasser un petit peu et de partager quelques exercices de mon cru. En voici un premier, voyons ce qu'il donne.

Soit un espace métrique compact. Par définition/théoreme, si est une suite d'éléments de on peut trouver une suite extraite ( convergeante, étant une fonction strictement croissante de dans lui même. L'objectif est de montrer que l'on peut faire en fait (un petit peu) mieux, en trouvant une extraction qui croit "pas trop vite".

Enoncé: Montrer que si est une suite d'éléments d'un espace métrique compact , on peut trouver une suite extraite convergeante tel que de plus,

Bonne chance.

[Ben314]

Salut,
Ça faisait effectivement longtemps qu'on t'avais pas vu et... ça fait plaisir de te revoir...

Sinon, je pense que ça marche comme ça :
On considère l'ensemble de toutes les boules ouvertes de rayon 1 : ça constitue un recouvrement d'ouvert donc on peut en extraire un R.O. fini B1, B2, ... Bp. Si pour k dans {1..p} on note Ak l'ensemble des entiers n tels que x_n est dans Bk, l'ensemble des Ak recouvre l'ensemble des entiers naturels N et, comme la somme des 1/n pour n dans N* est infinie, l'une au moins des sommes des 1/n pour n dans Ak est infinie.
On considère ce Ak là et on pioche dedans suffisamment d'entiers pour que la somme de leurs inverse soit >1 et c'est ces entiers là qu'on prend comme premiers éléments de la suite extraite.
Ensuite, ben on recommence en recouvrant la boule fermée correspondante (qui est compacte) avec des boules de rayon 1/2, etc...

[ffback]

Même des années aprés, toujours aussi efficace!
Ca marche

Qui est intéressé peut tenter de formaliser complétement, mais c'est ok

[Lostounet]

Salut Ffpower,
Re(bienvenu) sur le forum ! J'apprécie toujours de lire tes posts (comme ceux de Ben).

J'aimerais bien tenter de formaliser sauf que... j'ai un peu de mal à comprendre certains passages de la solution de Ben (assez rapide....). Rassurez-moi, ce n'est pas aussi évident que cela n'y parait (à vous lire, toi et Ben) xD

Modif: Il me semble avoir fait quelque chose de semblable .. mais c'était dans le cadre du procédé d'extraction diagonale (en analyse hilbertienne?) je ne sais plus c'était quoi.

[ffback]

Salut,
Le message de Ben est effectivement un peu lacunaire, s'adressant plutôt à moi je suppose. Pour moi qui connait le probleme, tout va bien, mais effectivement, pour les autres, il faut plus voir ça comme des indications sur des idées à suivre que comme une solution à proprement parler. Du coup formaliser le tout reste un défi ouvert

L'idée est effectivement assez proche de l'extraction diagonale (bien qu'un peu différent dans ce cas précis).
Ce qui d'aprés moi se rapproche le plus de la solution est la preuve de Bolzano Weirstrass classique, i.e. de toute suite réelle bornée on peut extraire une sous suite convergente.

Rappel de la preuve (là encore, lacunaire): Soit une suite bornée, disons dans [0,1]. On divise cet intervalle [0,1] en deux intervalles de longueur 1/2 et on choisit l'un des deux, qu'on appelle , tel que l'ensemble est infini. Puis on divise à son tour en deux intervalles de longueur 1/4 et on choisit un des deux, qu'on appelle , tel que est infini. Continuant, on construit ainsi une suite emboitée d'intervalles de plus en plus petits tel que est infini pour tout k, puis finalement grâce à une extraction diagonale sur les on construit une sous suite de convergente.

Bon ben pour l'exercice, faut essentiellement adapter ça. Vu qu'on est dans un espace métrique compact, au lieu de diviser des intervalle en deux on va recouvrir des boules par des boules plus petites, et au vu de la restriction que l'on veut, plutôt que de regarder le cardinal des ensembles on va regarder la somme des inverses des éléments. Et aussi l'extraction diagonale à la fin n'est pas tout à fait diagonale...

[ffback]

Salut,
voici une réponse détaillée (dans la limite du raisonnable, l'ergonomie de l'éditeur restant aussi lourde que dans mes souvenirs) , correspondant essentiellement à la solution esquicée par Ben (qui est aussi la mienne)

Une notation pratique: Si est un sous ensemble de , on note .

Etape 1: une construction de fermés emboités
On va construire par reccurence une suite décroissante de fermés dont le diametre tend vers 0 et tel que pour tout entier , .
On inicie la construction avec . En particulier donc on a bien
Ensuite, pour un fixé supposons construit fermé tel que , et construisons :
Commeçons par recouvrir par des boules de rayon : .
Par la propriété de Borel-Lebesgue, on extrait un recouvrement fini: .
Notons , de sorte que .
Alors on a . Puisque , il existe nécessairement un indice tel que . On définit alors comme l'adhérence de ce

On a ainsi défini ainsi une suite de fermés décroissante () dont le diametre () tend vers 0. étant complet, on déduit que est un singleton (classique). En particulier, ,

Etape 2: construction d'une sous suite convergeante

Notons . On a donc:
1)
2)

Pour chaque , fixons un sous ensemble fini de tel que . Ensuite, posons , puis finalement, définissons -eme terme de . Vérifions que cette extraction est celle qu'on désire:
1)Pour tout , , donc diverge.
2)Pour tout , soit tel que . Alors puisque les sont finis, pour suffissamment grand, est dans un () avec , donc . Donc

Et donc, c'est fini