Billet de bus

[fastandmaths]

Bonjour

A l'arrét du bus, personnes attendent avec des billets pour des places numérotées de 1 à . Hélas, la personne possédant le billet numéro 1 est une vieille folle, et lorsque le bus arrive, elle s'installe à une place prise au hasard. Le passager numéro 2 s installe alors à la place 2 si elle est libre, et à à n'importe quelle place libre prise au hasard sinon. Et ainsi de suite pour tous les passagers suivants, dans l'ordre de leur numéro. Quelle est la probabilité pour que la dernière personne se retrouve assise à sa place?

[GaBuZoMeu]

On peut procéder par récurrence sur (en faisant attention à la bonne initialisation).

[Ben314]

Salut,
Je me goure peut-être, mais ça me semble assez trivial sans le moindre calcul : Si on regarde quelle est la première personne à s'installer sur une des deux places 1 ou N, il y a évidement une chance sur deux que ce soit la place 1 et une chance sur deux que ce soit la place N. Et si c'est la place 1, ça signifie que la boucle (des changement de place) est bouclée donc tout les suivants (dont le dernier) seront à leur place. Par contre, si c'est la place N, ça signifie bien évidement que la dernière personne ne sera pas à sa place.

[GaBuZoMeu]

Bien joué.

Le calcul par récurrence donne le même résultat (heureusement !) avec et pour .

[fastandmaths]

Bonsoir,

fallait y penser à la dernière personne c 'est excellent!
La personne s’assoit sur le siège parmi {1.2.3...n} de manière équiprobable.
Si elles s'installe à la place 1, tout le monde s'assoit à sa place, en particulier la dernière. Si en
revanche, elle prend la place N, la dernière personne n'a aucune chance de se retrouver à
sa place.

Mais maintenant si la folle s'installe à la place k compris entre 1 et N les gens 1.2.3...k-1 s'installent chacun à sa place, la personne (k) ira s'asseoir sur l'un des sièges vides restant.La dernière personne qui entre dans ce bus a une probabilité de 1/2 de gagner sa place

[nodgim]

Ou encore : à toute suite ( des placements) où 1 précède N, il y en a 1 identique à la permutation près de 1 avec N.

[ComeDuRondeau]

Jolie solution !

Ça donne quoi avec k<N vielles folles ?