Besoin d'une petite aide pour cet exercice

[Pseuda]

Bonsoir,

Admettons la solution P(x)=(x-a)R(x)+b. Prenons la 1ère condition, pour a=1 et b=2, P(a)=b donne P(1)=2. Cela fait P(x)=(x-1)R(x)+2 : on aura (2-1)*R(1)+2=2, soit R(1)=0.
Pour avoir P(2)=3, il faut (2-1)*R(2)+2=3, soit R(2)=1.
Puis P(4)=1, cela fait : (4-1)*R(4)+2=1, soit R(4)=-1/3.
Et enfin, P(6)=2, cela fait : (6-1)*R(6)+2=2, soit R(6)=0.
Bref, on n'a fait que déplacer le problème : du polynôme inconnu P(x) au polynôme inconnu R(x).
Ou alors, je n'ai pas compris cette solution.

[Lostounet]

Cependant, l'ami qui m'a proposé l'exercice vient de me dire que cette solution n'est possible que si il est précis que le polynôme est de degré 3 ou moins ( ce qui n'est pas le cas dans cet exercice )
il m'a dit qu'il faut donc la résoudre en utilisant l'expression P(x)=(x-a)R(x)+b pour construire le polynôme en appliquant chacune des conditions données .A la fin on obtient un polynôme quelconque à l'intérieur de l'expression du polynôme final. Ce qui veut dire qu'il y a une infinité de solutions.
Je ne sais pas si cette solution vous a convaincu.

Désolé mais ce n'est pas convaincant.
Certes, il y a une infinité de solutions au problème, je ne comprends pas l'utilité de "rester dans le flou" et ne pas expliciter un des polynômes exactement, comme te le dit Pseuda.

Ce que ma méthode dit, c'est qu'il y a UN seul polynôme du troisième degré (il est unique) qui répond à la question posée. C'est en plus assez logique: en deux points on mène une seule fonction f(x) = ax + b, en 3 points on mène une seule parabole f(x) = ax^2 + bx + c. Donc en 4 points, on mène une seule fonction f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d.

Maintenant, s'il faut trouver des polynômes de degré 4 par exemple, il te suffit d'ajouter un cinquième point E(a ; b) à ta guise (attention au fait que a ne doit pas faire partie des abscisses des autres points) avec les coordonnées que tu veux et de refaire la méthode de Lagrange que j'ai détaillée ci-dessus avec cette fois-ci 5 points. Tu peux même le faire avec un point arbitraire E(a ; b) pour essayer de paramétrer tous les polynômes possibles de degré 4. Tu peux aussi essayer de créer toi-même un polynome qui soit égal à ce qu'on a trouvé plus haut + une partie qui s'annule en les points A B C D.

Je ne vois sinon franchement pas l'intérêt d'aller au delà du 3eme degré si on ne précise pas dans l'énoncé... ça ne fait que compliquer l'affaire inutilement...

[Pseuda]

Soit le polynôme de degré 3 trouvé. est une solution ssi pour , ssi il existe un polynôme de degré quelconque , tel que .

Si tu as bien suivi cette démarche, l'ensemble des solutions est donc l'ensemble des polynômes tels que :
avec polynôme quelconque (pour , on retrouve le polynôme de degré 3 trouvé initialement).

[zygomatique]

salut


pour rester au lycée (niveau première) ...

soit P un polynome tel que :

P(1) = 2
P(2) = 3
P(4) = 1
P(6) = 2

donc P(x) = Q(x)(x - 1)(x - 6) + 2

P(2) = 3 <=> -4Q(2) + 2 = 3 <=> Q(2) = -1/4
P(4) = 1 <=> -6Q(4) + 2 = 1 <=> Q(4) = 1/6

la fonction affine vérifiant cela est Q(x)= (5/24)(x - 4) + 1/6

le polynome P est donc P(x) = [5(x - 4)/24 + 1/6](x - 1)(x - 6) + 2

P(1) = P(6) = 2

P(2) = (1/6 - 5/12)(-4) + 2 = 3

P(4) = (1/6)3(-2) + 2 = 1

...

[FLBP]

Pour une solution globale, je procéderais ainsi :

Comme dit précédemment de degré 3, tel que :

Trouvons-le grâce à la méthode des moindres carrés;
Soit :


Nous trouvons que :



Ce qui donne :


Pour trouver les polynômes de degrés supérieurs, il nous faut ajouter un polynômes qui s'annule au moins aux points :

Sa forme générale est :

Car :

Tout polynôme non constant à coefficients réels s'écrit comme un produit de polynômes à coefficients réels de degrés 1 ou 2.

Ce qui donne comme solution :