Besoin d'une petite aide pour cet exercice

[arnhackeur]

l'exercice se présente comme le suivant : Trouver tout les polynômes vérifiant P(1)=2 / P(2)=3 / P(4)=1 / P(6)=2
, le degré des polynômes n'est pas précisé.
(Cet exercice a été présenté comme problème lors d'une des épreuves des olympiades en 1ère)

[Pseuda]

Bonjour,

Tu peux commencer par chercher un polynôme de degré 3 en remarquant que P(1)=P(6)=2, donc en étudiant le polynôme P(x)-2.

[arnhackeur]

Bonjour,

Tu peux commencer par chercher un polynôme de degré 3 en remarquant que P(1)=P(6)=2, donc en étudiant le polynôme P(x)-2.

Hello merci pour la réponse , mais je viens de trouver la solution sur un autre forum , elle est assez symple en vrai : "pour résoudre cet exercice il suffit de factoriser. En effet le polynôme P(X) - 2 s'annule en 1 et en 6 (puisque P(1)=P(6)=2), tu peux en déduire que P(X) = Q(X)(X-1)(X-6)+2 où Q(X) est un polynôme qui va vérifier les conditions qu'on obtient en résolvant une équation avec les deux dernières conditions. Et ainsi de suite jusqu'à que t'ai un polynôme qui ne respecte aucune condition, tu auras à la fin toutes les formes de P(X), je te laisse le trouve "

[pascal16]

par symétrie de la fonction polynôme de degré 2, il faut au minimum un degré 3 et pour des raisons de résolution de système d'équation, il faut au plus un degré 3.

dans la forme proposée : P(X) = Q(X)(X-1)(X-6)+2
Q est de degré 1

[edit] erreur, les abscisses des points ne sont pas symétriques

[Pseuda]

Quand tu auras trouvé le polynôme de degré 3, qui est une solution particulière, tu peux trouver l'ensemble des solutions en remarquant que et sont égaux pour x = 1, 2, 4 et 6, et en écrivant que pour ces valeurs, donc s'écrit ... .

Déjà, as-tu trouvé le polynôme de degré 3 ?

[Pseuda]

par symétrie de la fonction polynôme de degré 2, il faut au minimum un degré 3 et pour des raisons de résolution de système d'équation, il faut au plus un degré 3.

dans la forme proposée : P(X) = Q(X)(X-1)(X-6)+2
Q est de degré 1

Non ?

[arnhackeur]

Quand tu auras trouvé le polynôme de degré 3, qui est une solution particulière, tu peux trouver l'ensemble des solutions en remarquant que et sont égaux pour x = 1, 2, 4 et 6, et en écrivant que pour ces valeurs, donc s'écrit ... .

Déjà, as-tu trouvé le polynôme de degré 3 ?

non je n'ai pas encore essayé de trouver le polynôme de degré 3

[arnhackeur]

Quand tu auras trouvé le polynôme de degré 3, qui est une solution particulière, tu peux trouver l'ensemble des solutions en remarquant que et sont égaux pour x = 1, 2, 4 et 6, et en écrivant que pour ces valeurs, donc s'écrit ... .

Déjà, as-tu trouvé le polynôme de degré 3 ?

P(1)= a₃ + a₂ + a₁ + a₀ = 2
P(6)= a₃×6³ + a₂×6² + a₁×6 + a₀ = 2 = P(1)

a₃ + a₂ + a₁ + a₀ = a₃×6³ + a₂×6² + a₁×6 + a₀ =2

cela signifierait que a₀= 2 et a₁=a₂=a₃= 0?
mais cela ne va pas marcher avec les autres polynomes P(2) et P(4)

donc le polynome ne pourrait pas être de degré 3 à moins que j'aie oublié un détail

[Pseuda]

Non, non. Pour trouver le polynôme de degré 3, reprends comme indiqué plus haut dans l'autre forum avec Q(x) de degré1 = a *x + b. Trouve a et b (les inconnues) avec les données du problème.

D'ailleurs, dans ta façon de faire, je ne vois pas comment tu obtiens a0=2, et le reste.

[arnhackeur]

Non, non. Pour trouver le polynôme de degré 3, reprends comme indiqué plus haut dans l'autre forum avec Q(x) de degré1 = a *x + b. Trouve a et b (les inconnues) avec les données du problème.

D'ailleurs, dans ta façon de faire, je ne vois pas comment tu obtiens a0=2, et le reste.

en utilisant la méthode sur l'autre forum on trouve un unique polynome : 5/24 x^3 - 17/8 x^2 + 71/12 x - 2

[arnhackeur]

petite piste :
On suppose que P(a)=b
On pose Q le polynome défini par Q(x)=P(x)-b
Q(a)= 0
Q(x)=(x-a)R(x) avec R un polynome quelconque
Donc on peut dire que P(x)=(x-a)R(x)+b
et je pense qu'il faut utiliser cette expresion pour construire le polynome
qu'en penses-tu?

[Pseuda]

C'est bon pour le polynôme de degré 3 !

Ensuite il y a une infinité de polynômes de degré supérieur à 3 qui répondent au problème. On peut les trouver (en donner une expression) avec la méthode que je t'ai donnée plus haut.

[Pseuda]

petite piste :
On suppose que P(a)=b
On pose Q le polynome défini par Q(x)=P(x)-b
Q(a)= 0
Q(x)=(x-a)R(x) avec R un polynome quelconque
Donc on peut dire que P(x)=(x-a)R(x)+b
et je pense qu'il faut utiliser cette expresion pour construire le polynome
qu'en penses-tu?

Pour quel polynôme, celui de degré 3 ou ceux de degré supérieur ou égal à 4 ?

Bon je vais me coucher.

[arnhackeur]

petite piste :
On suppose que P(a)=b
On pose Q le polynome défini par Q(x)=P(x)-b
Q(a)= 0
Q(x)=(x-a)R(x) avec R un polynome quelconque
Donc on peut dire que P(x)=(x-a)R(x)+b
et je pense qu'il faut utiliser cette expresion pour construire le polynome
qu'en penses-tu?

Pour quel polynôme, celui de degré 3 ou ceux de degré supérieur ou égal à 4 ?

Bon je vais me coucher.

de degré supérieur ou égal à 4

[Pseuda]

Il y a 4 égalités P(a)=b à respecter. Apparemment ta méthode n'en respecte qu'une.

[Pseuda]

Bonjour,

EDIT : polynôme de degré 3 trouvé bon (mes excuses) !

Soit le polynôme de degré 3 trouvé. est une solution ssi pour , ssi il existe un polynôme de degré quelconque , tel que . Voilà, je te laisse terminer.

[Lostounet]

Bonjour
Considérons les points d'abscisses distinctes: A(1 ; 2), B(2 ; 3), C(4 ; 1), D(6 ; 2)

D'après le théorème d'interpolation polynomiale de Lagrange, il existe un unique polynôme du 3eme degré qui passe par ces 4 points.

Juste en guise de vérification de tes calculs (avec la méthode plus adaptée au niveau proposée par Pseuda)
Introduisons les multiplicateurs:
L0(X) = (X - 2)(X - 4)(X - 6)/((1 - 2)(1 - 4)(1 - 6)) = -X^3/15 + (4 X^2)/5 - (44 X)/15 + 16/5

L1(X) = (X - 1)(X - 4)(X - 6)/((2 - 1)(2 - 4)(2 - 6)) = X^3/8 - (11 X^2)/8 + (17 X)/4 - 3

L2(X) = (X - 1)(X - 2)(X - 6)/((4 - 1)(4 - 2)(4 - 6)) = -X^3/12 + (3 X^2)/4 - (5 X)/3 + 1

L3(X) = (X - 1)(X - 2)(X - 4)/((6 - 1)(6 - 2)(6 - 4)) = X^3/40 - (7 X^2)/40 + (7 X)/20 - 1/5

Ainsi, nous avons le polynôme P suivant qui convient:

P(X) = 2L0(X) + 3L1(X) + 1L2(X) + 2L3(X)

P(X) = (5 X^3)/24 - (17 X^2)/8 + (71 X)/12 - 2

P(1) = 2
P(2) = 3
P(4) = 1
P(6) = 2

[arnhackeur]

Bonjour
Considérons les points d'abscisses distinctes: A(1 ; 2), B(2 ; 3), C(4 ; 1), D(6 ; 2)

D'après le théorème d'interpolation polynomiale de Lagrange, il existe un unique polynôme du 3eme degré qui passe par ces 4 points.

Juste en guise de vérification de tes calculs (avec la méthode plus adaptée au niveau proposée par Pseuda)
Introduisons les multiplicateurs:
L0(X) = (X - 2)(X - 4)(X - 6)/((1 - 2)(1 - 4)(1 - 6)) = -X^3/15 + (4 X^2)/5 - (44 X)/15 + 16/5

L1(X) = (X - 1)(X - 4)(X - 6)/((2 - 1)(2 - 4)(2 - 6)) = X^3/8 - (11 X^2)/8 + (17 X)/4 - 3

L2(X) = (X - 1)(X - 2)(X - 6)/((4 - 1)(4 - 2)(4 - 6)) = -X^3/12 + (3 X^2)/4 - (5 X)/3 + 1

L3(X) = (X - 1)(X - 2)(X - 4)/((6 - 1)(6 - 2)(6 - 4)) = X^3/40 - (7 X^2)/40 + (7 X)/20 - 1/5

Ainsi, nous avons le polynôme P suivant qui convient:

P(X) = 2L0(X) + 3L1(X) + 1L2(X) + 2L3(X)

P(X) = (5 X^3)/24 - (17 X^2)/8 + (71 X)/12 - 2

P(1) = 2
P(2) = 3
P(4) = 1
P(6) = 2

Merci pour la solution qui est plus ou moins assez simple par rapport aux autres mais comme je l'ai dit avant cet exercice a été posé lors des olympiades de première donc je recherchais une méthode qui n'utiliserait pas un théorème comme celui de lagrange

[Lostounet]

Merci pour la solution qui est plus ou moins assez simple par rapport aux autres mais comme je l'ai dit avant cet exercice a été posé lors des olympiades de première donc je recherchais une méthode qui n'utiliserait pas un théorème comme celui de lagrange

En fait, le principe des multiplicateurs de Lagrange est compréhensible au niveau 1ere ! Je vais te détailler l'explication intuitive de cette méthode. Explication longue mais bien détaillée... !

Tu as 4 points donnés, d'abscisses différentes. Tu souhaites chercher un polynôme qui passe donc par A(1 ; 2), B(2 ; 3), C(4 ; 1), D(6 ; 2).
Si tu fais l'analogie avec les degrés les plus bas, il te faut 2 points d'abscisses distinctes pour trouver une droite (polynôme de degré 1: fonction affine). Il te faut 3 points pour trouver une parabole (trinôme du second degré) en trouvant les trois coefficients.

Ici, avec 4 points, tu peux donc t'attendre logiquement à un polynôme du 3eme degré, c'est à dire de la forme:
P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

Pour trouver les coefficients a, b, c et d tu peux avoir recours à la méthode "brutale": forcer le polynome à passer par les 4 points en trouvant 4 équations à 4 inconnues à l'aide de P(1) = 2, P(2) = 3, etc...

La méthode de Lagrange est différente: il te dit que je ne vais pas trouver directement le polynôme P mais je vais associer à chaque point (A, B, C et D) un polynôme (L0 pour A, L1 pour B etc...).

Première étape: Voici comment on va choisir les polynômes:

Prenons le point A(1 ; 2). On va chercher le polynôme L_0 de sorte que (l'image de l'abscisse du point A doit valoir 1 dans un premier temps) et de sorte que , et (ce sont les abscisses de tous les autres points B, C et D).
Donc on commence par former (X - 2)(X - 4)(X - 6). Ce polynôme vaut 0 en x = 2, x = 4 et x = 6.
Que vaut-il en x = 1 (abscisse du point A?): (1 - 2)(1 - 4)(1 - 6) Or cette valeur est différente de 1, donc on divise le polynôme par (1 - 2)(1 - 4)(1 - 6) pour qu'effectivement L_0(1) = 1

En conclusion, le polynôme L0 vaut L0(X) = (X - 2)(X - 4)(X - 6)/(1 - 2)(1 - 4)(1 - 6)


On refait la même chose pour le point B: On trouve L1 tel que L_1(2) = 1,
Pareil pour C et D.

Deuxième étape: On a obtenu L0, L1, L2 et L3 quatre polynômes qui valent chacun 1 en une valeur et 0 en toutes les autres.

Il est alors facile de voir que si je multiplie L0 par 2, L0 va valoir non plus 1 au point x = 1 mais 2. Et L0 va continuer à valoir 0 en tous les autres points x = 2, x = 4 et x = 6.
Je multiplie L1 par 3, j'obtiens un polynôme qui vaut 3 en x = 2 mais 0 en tous les autres points d'abscisses 1, 4 ou 6.

Je multiplier donc chaque polynôme Li par l'ordonnée du point associée.

Puis je forme le polynôme final qui répond à la question: P(X) = 2L0(X) + 3L1(X) + 1L2(X) + 2L3(X)

Ce polynôme vérifie les hypothèses de l'énoncé car P(1) = 2L0(1) + 3L1(1) + 1L2(1) + 2L3(1)
= 2 + 0 + 0 + 0

P(2) = 2L0(2) + 3L1(2) + 1L2(2) + 2L3(2) = 0 + 3 + 0 + 0

etc... et cela car on l'a construit comme tel

[arnhackeur]

Merci pour la solution qui est plus ou moins assez simple par rapport aux autres mais comme je l'ai dit avant cet exercice a été posé lors des olympiades de première donc je recherchais une méthode qui n'utiliserait pas un théorème comme celui de lagrange

En fait, le principe des multiplicateurs de Lagrange est compréhensible au niveau 1ere ! Je vais te détailler l'explication intuitive de cette méthode. Explication longue mais bien détaillée... !

Tu as 4 points donnés, d'abscisses différentes. Tu souhaites chercher un polynôme qui passe donc par A(1 ; 2), B(2 ; 3), C(4 ; 1), D(6 ; 2).
Si tu fais l'analogie avec les degrés les plus bas, il te faut 2 points d'abscisses distinctes pour trouver une droite (polynôme de degré 1: fonction affine). Il te faut 3 points pour trouver une parabole (trinôme du second degré) en trouvant les trois coefficients.

Ici, avec 4 points, tu peux donc t'attendre logiquement à un polynôme du 3eme degré, c'est à dire de la forme:
P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

Pour trouver les coefficients a, b, c et d tu peux avoir recours à la méthode "brutale": forcer le polynome à passer par les 4 points en trouvant 4 équations à 4 inconnues à l'aide de P(1) = 2, P(2) = 3, etc...

La méthode de Lagrange est différente: il te dit que je ne vais pas trouver directement le polynôme P mais je vais associer à chaque point (A, B, C et D) un polynôme (L0 pour A, L1 pour B etc...).

Première étape: Voici comment on va choisir les polynômes:

Prenons le point A(1 ; 2). On va chercher le polynôme L_0 de sorte que (l'image de l'abscisse du point A doit valoir 1 dans un premier temps) et de sorte que , et (ce sont les abscisses de tous les autres points B, C et D).
Donc on commence par former (X - 2)(X - 4)(X - 6). Ce polynôme vaut 0 en x = 2, x = 4 et x = 6.
Que vaut-il en x = 1 (abscisse du point A?): (1 - 2)(1 - 4)(1 - 6) Or cette valeur est différente de 1, donc on divise le polynôme par (1 - 2)(1 - 4)(1 - 6) pour qu'effectivement L_0(1) = 1

En conclusion, le polynôme L0 vaut L0(X) = (X - 2)(X - 4)(X - 6)/(1 - 2)(1 - 4)(1 - 6)


On refait la même chose pour le point B: On trouve L1 tel que L_1(2) = 1,
Pareil pour C et D.

Deuxième étape: On a obtenu L0, L1, L2 et L3 quatre polynômes qui valent chacun 1 en une valeur et 0 en toutes les autres.

Il est alors facile de voir que si je multiplie L0 par 2, L0 va valoir non plus 1 au point x = 1 mais 2. Et L0 va continuer à valoir 0 en tous les autres points x = 2, x = 4 et x = 6.
Je multiplie L1 par 3, j'obtiens un polynôme qui vaut 3 en x = 2 mais 0 en tous les autres points d'abscisses 1, 4 ou 6.

Je multiplier donc chaque polynôme Li par l'ordonnée du point associée.

Puis je forme le polynôme final qui répond à la question: P(X) = 2L0(X) + 3L1(X) + 1L2(X) + 2L3(X)

Ce polynôme vérifie les hypothèses de l'énoncé car P(1) = 2L0(1) + 3L1(1) + 1L2(1) + 2L3(1)
= 2 + 0 + 0 + 0

P(2) = 2L0(2) + 3L1(2) + 1L2(2) + 2L3(2) = 0 + 3 + 0 + 0

etc... et cela car on l'a construit comme tel

Merci beaucoup pour l'explication, ça fait vraiment plaisir !!

Cependant, l'ami qui m'a proposé l'exercice vient de me dire que cette solution n'est possible que si il est précis que le polynôme est de degré 3 ou moins ( ce qui n'est pas le cas dans cet exercice )
il m'a dit qu'il faut donc la résoudre en utilisant l'expression P(x)=(x-a)R(x)+b pour construire le polynôme en appliquant chacune des conditions données .A la fin on obtient un polynôme quelconque à l'intérieur de l'expression du polynôme final. Ce qui veut dire qu'il y a une infinité de solutions.
Je ne sais pas si cette solution vous a convaincu.