L'aventurier et ses diamants !

[DamX]

Bonjour,

Je propose ici à vos esprits acérés une énigme que j'ai trouvé sur le net, sans solution. J'en ai trouvé une mais je me dis qu'il y a peut être beaucoup plus simple que la mienne alors je vous la soumets ! :)

Un aventurier rentre d'expédition avec un nombre impair de diamants. Il a une balance à plateau et il s'aperçoit que quel que soit le diamant qu'il met de coté, il arrive à former dans le reste deux groupes égaux en nombre et en poids (par exemple sil y a 11 diamant, il enleve n'importe lequel du tas et il arrive toujours à faire deux groupes de 5 dans le reste qui ont le meme poids).

Votre mission : montrer que tous les diamants font le meme poids.


Bonne chance ! :)

Damien

[Nightmare]

Hello,

c'est un classique, mais il faut avoir l'idée du cadre de la preuve, à savoir l'algèbre linéaire.

Je note 2n+1 le nombre de diamants, on désignera les masses de ces derniers par .

L'hypothèse du problème se traduit de la manière suivante : Quel que soit mk que j'enlève du groupe, il existera toujours un ensemble d'indice Ik (le premier plateau) et un ensemble d'indice Jk (le deuxième) tels que et

De façon condensée, on peut résumer cette égalité en où .

Cette égalité se traduit matriciellement par EM=0 où E est la matrice des et M le vecteur .

Montrer que tous les diamants ont le même poids, c'est montrer que le vecteur M est colinéaire à (1,....,1). En revenant à notre équation matricielle, cela revient à montrer que l'espace des solutions de l'équation EM=0 est de dimension 1 et généré par (1,...,1). Mais cet espace n'est autre que le noyau de E.

Notre problème revient donc à trouver le noyau d'une matrice. Reste à le faire, ce n'est pas immédiat mais pas trop compliqué non plus.

[DamX]

Oui c'est bien le chemin que je prends dans ma démo. Le pont technique a été de montrer le noyau de toute matrice de ce type est réduit à Vecteur(1,..,1) mai c'est plutôt joli.

Je me disais Peut être qu'il y aurait une façon de voir qui court-circuiterait le calcul matriciel.

[Imod]

Oui c'est bien le chemin que je prends dans ma démo. Le pont technique a été de montrer le noyau de toute matrice de ce type est réduit à Vecteur(1,..,1) mai c'est plutôt joli.

Je me disais Peut être qu'il y aurait une façon de voir qui court-circuiterait le calcul matriciel.

Je crois me souvenir en effet qu'avec des entiers il y a une solution à échelle humaine :zen:

Imod

[Dlzlogic]

Bonjour,
Supposons qu'un diamant n'ait pas le même poids.
Le même que lequel, me direz-vous ? justement pas le même que n'importe quel autre, alors, il ne pourrait pas faire sa pesée égale à tous les coups.
En d'autres termes, il constate que quels que soient le diamant qu'il a dans la main et ceux qui sont sur les plateaux, ils sont interchangeables, donc ils ont le même poids.

[Judoboy]

Ouais c'était facile en fait, et y a même une démo plus rapide : je prends un diamant au hasard, pourquoi il serait différent des autres ? Pourquoi CELUI-LA en particulier ?

Donc ils sont tous pareils, CQFD.

[beagle]

Ouais c'était facile en fait, et y a même une démo plus rapide : je prends un diamant au hasard, pourquoi il serait différent des autres ? Pourquoi CELUI-LA en particulier ?

Donc ils sont tous pareils, CQFD.

:ptdr: :ptdr:

réponse différente quant au niveau de preuves dans les pays communistes et les pays capitalistes

[lannister]

tu veut une réponse mathématique ou théorique ? :D

[LouisLarue]

Bonjour,
Supposons qu'un diamant n'ait pas le même poids.
Le même que lequel, me direz-vous ? justement pas le même que n'importe quel autre, alors, il ne pourrait pas faire sa pesée égale à tous les coups.
En d'autres termes, il constate que quels que soient le diamant qu'il a dans la main et ceux qui sont sur les plateaux, ils sont interchangeables, donc ils ont le même poids.

J'ai pas bien compris ta démonstration. Pourrais-tu la réexpliquer avec plus de détails? Merci

[Dlzlogic]

J'ai pas bien compris ta démonstration. Pourrais-tu la réexpliquer avec plus de détails? Merci

Je pense que ce sera plus clair avec ceci :

Je note 2n+1 le nombre de diamants, on désignera les masses de ces derniers par 3$ m_{1},m_{2},...,m_{2n+1}.

L'hypothèse du problème se traduit de la manière suivante : Quel que soit mk que j'enlève du groupe, il existera toujours un ensemble d'indice Ik (le premier plateau) et un ensemble d'indice Jk (le deuxième) tels que 3$ I_{k}\cup J_{k}=\{1,...,2n+1\}-\{k\} et 3$ \Bigsum_{i\in I_{k}} x_{i}=\Bigsum_{j\in J_{k}} x_{j}

De façon condensée, on peut résumer cette égalité en 3$ \Bigsum_{i\in \{1,...,2n+1\}} \epsilon_{i,k} x_{i}=0 où 3$ \epsilon_{i,k}=\{{1\;\;\;si\;i\in I_{k}\\-1\;si\;i\in J_{k}\\0\;\;\;si\;i=k.

Cette égalité se traduit matriciellement par EM=0 où E est la matrice des 3$ \epsilon_{i,k} et M le vecteur 3$ \(m_{1},...,m_{2n+1}\).

Montrer que tous les diamants ont le même poids, c'est montrer que le vecteur M est colinéaire à (1,....,1). En revenant à notre équation matricielle, cela revient à montrer que l'espace des solutions de l'équation EM=0 est de dimension 1 et généré par (1,...,1). Mais cet espace n'est autre que le noyau de E.

Notre problème revient donc à trouver le noyau d'une matrice. Reste à le faire, ce n'est pas immédiat mais pas trop compliqué non plus.

[EDIT] Pardon, j'ai oublié de dire que Nightmare était l'auteur.

[leon1789]

Je pense que ce sera plus clair avec ceci :

On te demande d'expliquer tes histoires (incompréhensibles), et tu as seulement trouver l'idée de copier/coller le message de Nightmare ci-dessus , et sans le dire... c'est donc un beau plagiat en règle

[DamX]

On te demande d'expliquer tes histoires (incompréhensibles), et tu as seulement trouver l'idée de copier/coller le message de Nightmare ci-dessus , et sans le dire... c'est donc un beau plagiat en règle

en même temps ça aurait été dur de développer une démo-troll

il y a deux méthodes à ma connaissance, celle que nightmare a lancé où on se ramène à un calcul de déterminant d'une matrice composée de (1,-1,0) au final. et une autre sans matrices où on peut le montrer pour des poids entiers, puis des poids rationnels, puis passer aux poids réels ce qui est un peu technique.

Damien

[Kikoo <3 Bieber]

J'ai très vaguement compris la démo de Nightmare, mais éclairez-moi : Les x_i sont bien les m_i ?

[leon1789]

Les x_i sont bien les m_i ?

oui, tout à fait

[Kikoo <3 Bieber]

Ok d'ac merci ! :)

[chan79]

Pour ceux qui voudraient une solution détaillée, il y a ceci
C'est pas si compliqué, une fois que c'est fait ...... :zen:

[fma]

Pour ceux qui voudraient une solution détaillée, il y a ceci
C'est pas si compliqué, une fois que c'est fait ...... :zen:

Elle donne envie de résoudre des équations, chaud le CV de l'auteur(e) !

http://perso.univ-rennes1.fr/sandrine.caruso/CV.pdf

[chan79]

chaud le CV de l'auteur(e) !

ah oui, respect :happy2:

[Galax]

ah oui, respect :happy2:

Et si en plus elle maitrise le latex, alors là ... :lol3:

[fma]

Et si en plus elle maitrise le latex, alors là ... :lol3:

Renseignement please :

Pourquoi "Kon" a-t-il une taille élastique en latex, sans que je touche à quoi que ce soit ?
Mon "NOM", serait-il différent de "KON" ? :stupid_in

Je dois faire quoi ?