Arithmétique

par **bitonio** » 25 Oct 2007, 22:54

Bonjour,
étant donné que mon dernier post était trop simple , j'augmente un peu le niveau.

Montrer que le produit des nombres premiers inférieurs ou égaux à n est inférieur ou égal à

Bonne chance!

Bitonio

Ps: si c'est encore trop simple, le prochain sera d'un autre niveau ^^

par **Flodelarab** » 26 Oct 2007, 13:40

La fourchette me parait large.

car ln(4)>1 et x>ln(x)

Ce qui est toujours vrai ......

par **yos** » 26 Oct 2007, 21:55

Je sais le faire mais je n'aurais pas pu trouver ça tout seul je pense.

par **lapras** » 26 Oct 2007, 22:02

On peut me donner un indice ? C'est assez délicat !
J'ai abandonné la récurrence lol
En fait y'aurait pas un théoreme qui parle de la "densité" de nombres premiers dans IN ?

par **Nightmare** » 26 Oct 2007, 22:26

Salut Lapras :happy3:

L'ensemble des nombres premiers n'est clairement pas dense dans N.

Par contre on a un théorème qui nous dit que la densité de nombres premiers autour d'un nombre n est 1/log(n).

par **yos** » 26 Oct 2007, 23:50

Je pense pas qu'un théorème de densité genre Hadamard-De La Vallée Poussin soit indiqué parce que ce genre de théorème est beaucoup plus dur à prouver.
Ici, c'est "élémentaire" : on peut le prouver par récurrence après avoir prouvé directement que le produit des nombres premiers compris entre n+1 et 2n est inférieur à

.

par **yos** » 26 Oct 2007, 23:51

Nightmare a écrit:L'ensemble des nombres premiers n'est clairement pas dense dans N.

Ca veut dire quoi "dense dans N"?

par **Nightmare** » 26 Oct 2007, 23:58

Je voulais juste dire qu'on avait une infinité d'intervalles entiers qui ne contiennent aucun nombre premier.

par **lapras** » 27 Oct 2007, 12:58

Nightmare, saurais tu le nom de ce théoreme ? pour que je me documente !

par **Thalès** » 27 Oct 2007, 14:20

ça serait pas le théorème des nombres premiers?

par **aviateurpilot** » 27 Oct 2007, 17:09

salut, je n'ete pas là cette semaine,
voulez vous poster des autre exo arithmetique pour moi
ou bien des exo d'imagination on il n y pas de cacule d'analyse :zen:
merci d'avance

par **Thalès** » 27 Oct 2007, 18:29

Euh...Tu as déjà réussi à faire celui là?

par **bitonio** » 28 Oct 2007, 20:55

Allez quelques indices.

Il faut faire une récurrence sur n. On suppose vrai pour tout k<n On peut séparer le cas n pair et n impair (le cas pair étant trivial). L'idée est d'ensuite séparer les produits des termes premiers en deux:
on pose X = produit des nombres premiers inférieurs ou égaux à (n+1)/2
et Y le produit des nombres premiers strictement suppérieurs à (n+1)/2 mais néanmoins inférieurs à n)
On applique l'hypothèse de récurence à X. L'idée est de majorer intéligement Y... chaque nombre premier qui apparait dans Y apparait dans

et donc Y divise ce coefficient binomial et en particulier est le plus petit...

En déduire une majoration

Bonne chance :we:

Ps: la solution est effectivement très difficile sans indice... Mais bon j'ai voulu viser plus haut que mon dernier problème qui avait été trouvé en 5 minutes :we:

par **ThSQ** » 28 Oct 2007, 22:15

bitonio a écrit:Allez quelques indices.

C'est la démo de Erdös. Introuvable à moins d'être un génie comme Erdös l'était !!!

par **bitonio** » 28 Oct 2007, 22:20

Je ne prétend pas avoir trouvé l'exo tout seul :) J'ai juste trouvé qu'il était interessant et le nombre d'étoiles dans mon bouquin m'a indiqué que ça tiendrait plus longtemps que mon dernier exo.

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