Arithmétique

[LjjMaths]

Bonsoir à tous j'ai un petit problème pour un exercice

Déterminer tous les couples d entier (a;b) tel qu il existe un entier d divisant
a^n + b^n + 1 pour tout n supérieur ou égal à 1

J ai pensé à supposer d premier pour restreindre les cas mais on

J'ai deja trouve que cela marchait pour tous les a et b de parité opposée
• d=2
a^n + b^n + 1 congrus a 0 [2]
a^n + b^n congrus a 1 [2]
a^n + b^n impaire donc a^n et b^n de parité opposée
donc a et b de parité opposée

Mais je ne vois pas comment faire pour d différent de 2
Merci d avance !

[Ben314]

Salut,
Déjà, il faut évidement préciser "il existe un entier d au moins égal à 2 tel que..." dans ton énoncé vu que si on accepte d=1, alors tout couple (a,b) est solution.
Et si on précise que d est au moins égal à 2 alors il admet un diviseur premier p qui va lui même diviser tout les a^n+b^n+1.
Ensuite, connait tu le petit Théorème de Fermat ?
Si oui, a mon avis, c'est le plus simple pour conclure.

[LjjMaths]

Oui oui supérieur à 2 pardon
Euh la comme ça non mais je vais regarder ca
Merci

[Ben314]

Sans les congruences et le petit théorème de Fermat, ça risque d'être pas évident du tout de résoudre complètement le truc.
Ce que je peut te dire, c'est que à part la solution que tu as déjà trouvé avec un pair et un impair, il n'y a qu'un seul autre type de solution : il faut prendre a et b tels que les restes de division par 3 donnent 1 et dans ce cas, a^n+b^n+1 sera toujours divisible par 3.
Par exemple a=b=1 donne évidement a^n+b^n+1=3 pour tout n.
Mais si on prend a=3x1+1=4 et b=3x2+1=7, ca marche aussi : 4^n+7^n+1 est toujours divisible par 3.

[LjjMaths]

Du coup faut prendre n=d-1
Donc a^n -1 congrus a 0 [d]
Donc a^n congrus a 1 [d]
De meme b^n congrus a 1 [d]
Donc a^n+b^n+1 congrus a 3 [d]

Mais après comment on peut montrer que d=3 (pour dire que a^n et b^n sont congrus a 1 [3] et conclure que a^n+b^n+1 divisible par 3 pour tout n ) ?

[Ben314]

Bon, déjà, pour que ça marche le petit théorème de Fermat, ben il faut que d=p soit un nombre premier, mais ça coute rien de supposer que c'est le cas vu qu'on peut remplacer d par un de ces diviseurs premier.
Ensuite, l'autre truc qu'il faut, c'est que a (et b) ne soient pas divisibles par p pour que l'on ait effectivement a^(p-1) et b^(p-1) congru à 1 mod p.
Dans ce cas, effectivement, on a que a^(p-1)+b^(p-1) est congru à 1+1+1=3 modulo p.
Mais d'un autre coté, ben faudrait peut-être pas oublier ton hypothèse disant que, pour n'importe quel n, donc en particulier pour n=p-1, on a p qui divise a^n+b^n+1, c'est à dire a^n+b^n+1 congru à 0 modulo p.
Et si on regroupe les deux, ben ça nous dit que 3 est congru à 0 modulo p ce qui implique évidement que p=3.
Enfin, il ne faut pas oublier qu'on doit aussi avoir a+b+1=a^1+b^1+1 congru à 0 modulo 3 et vu que a et b doivent être congru à 1 ou 2 modulo 3 (tout ce qu'on fait ici, c'est sous l'hypothèse que a et b ne sont pas divisible par p) la seule solution est que a et b soient tout les deux congrus à 1 modulo 3.
On vérifie ensuite que effectivement tout marche bien.

Par contre, il reste à traiter le cas où au moins un des deux, par exemple a, est divisible par p.
Dans ce cas, on doit avoir b^n+1 divisible par p pour tout n, donc b ne peut pas être divisible par p et on peut donc utiliser le fait que b^(p-1) est congru à 1 modulo p qui implique que b^(p-1)+1 est congru à 2 modulo p, mais doit aussi (hypothèse) être divisible par p. Et évidement, le seul cas possible où 2 est congru à 0 modulo p, c'est p=2 et il faut prendre a divisible par p, donc pair et b non divisible par p, c'est à dire impair et on vérifie de nouveau que tout marche bien.

[LjjMaths]

D'accord merci bcp pour ton aide Ben