Arithmétique puissances

par **benekire2** » 28 Oct 2010, 09:37

Salut !

Un petit exo d'arithmétique, mais il n'a pas l'air très olympique (=j'ai une solution simple) :

Montrer que le produit de trois entiers consécutifs ne peut être une puissance k-ième pour k supérieur ou égal a 2.

Bon travail :happy3:

par **nodjim** » 28 Oct 2010, 10:09

Déja 2 entiers consécutifs sont premiers entre eux. 3 consécutifs n'ont qu'un 2 en commun, au maximum.
Maintenant, 2 carrés ne sont pas consécutifs.
2 cubes encore moins, etc...
Les puissances éventuelles de 2 entiers consécutifs sont donc premières entre elles.

par **benekire2** » 28 Oct 2010, 10:43

Salut nodjim ! En fait c'est ça l'idée, ça ne t'auras pas resisté longtemps ...

En blanc : on écrit le produit (n-1)n(n+1) et comme n²-1 et n sont premiers entre eux ils ont une décomposition en produit de facteurs premiers avec des nombres premiers distincts donc sont eux même des puissances kième ...

par **nodjim** » 28 Oct 2010, 16:01

Bof, c'est un problème de niveau collège.

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