Arithmétique amusante ( pour tous )

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Imod
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Arithmétique amusante ( pour tous )

par Imod » 01 Aoû 2007, 00:54

Quel est le plus petit entier naturel ayant ( exactement ) un million de diviseurs ?

Imod



axiome
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par axiome » 01 Aoû 2007, 01:53

Salut, moi je dirais 2^999999.

Imod
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par Imod » 01 Aoû 2007, 01:56

C'est un axiome ?

Imod

axiome
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par axiome » 01 Aoû 2007, 02:14

Lol. Euh, je sais pas si c'est la bonne réponse, mais je te donnerais la justification demain Imod. Là, je suis trop fatigué et je fais des fautes d'orthographe à péter les vitres. Bonne nuit !

alben
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par alben » 01 Aoû 2007, 10:46

Rain' a écrit:Personnellement je dirais

La preuve bientôt

Contre-preuve :
est un peu plus petit

Imod
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par Imod » 01 Aoû 2007, 11:00

alben a écrit:Contre-preuve :
est un peu plus petit

Je n'ai pas trouvé mieux qu'alben :++:

Imod

axiome
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par axiome » 01 Aoû 2007, 12:18

Ok, j'ai raconté des bétises....

Babe
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par Babe » 04 Aoû 2007, 19:07

vous utilisez quel méthode ?

emdro
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par emdro » 04 Aoû 2007, 19:37

Le nombre de diviseurs de (décomposition en facteurs premiers) est: .

Fais un arbre pour t'en convaincre.

alben
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par alben » 04 Aoû 2007, 19:54

Babe a écrit:vous utilisez quel méthode ?

Si est est un entier dont la décomposition en facteurs premiers s'écrit
, le nombre de diviseurs de N sera égal à
Si l'on fixe m, on peut, en utilisant le multiplicateur de Lagrange, trouver les ki réels qui minimisent N : et ensuite c'est du bidouillage en essayant les valeurs multiples de 1, 4 et de 9 les plus proches et en faisant des essais sur m.
Encore grillé par emdro !

Flodelarab
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par Flodelarab » 18 Sep 2007, 11:45

Rain' a écrit:La preuve bientôt

Bon, ben, en attendant la preuve formelle, je sors l'artillerie de force brutale.



On en déduit l'existence de 49 diviseurs
On déduit l'existence de 1043 décompositions possibles.

Cela signifie qu'il y a 1043 répartitions en quantités possibles.
Reste plus qu'à affecter un n-uplets de nombres premiers à chaque répartition et voir si ça dépasse.


Avant de se lancer froidement dans la longue bataille, réfléchissons aux 2 choses suivantes:
  • Soit P1, P2 2 nombres premiers. Soit m et n 2 entiers naturels tels que m>n. Soit r=m-n
    car la fonction qui a x associe x^n est croissante dans les positifs.
    Conséquence: Si on a 2 nombres premiers, il faut affecter la quantité la plus forte au nombre premier le plus faible.

  • Conséquence: Si on a 2 nombres premiers possibles, on choisit le plus petit

Mine de rien, on vient de dire que le n-uplets des nombres premiers est fixé pour une répartition de quantités donnée. Il doit prendre les nombres premiers dans l'ordre croissant en commençant par 2.
On a donc 1043 possibilités.

ET LE GAGNANT EST :


173804636288811640432320000

[9, 4, 4, 4, 4, 4, 1, 1, 1, 1, 1]

On est sûr d'avoir exploré tous les cas possibles.

 

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