Arithmétique 2011

[ppcrepin]

Bonjour voici un petit exercice d'arithmétique :
montrer qu'il existe un multiple de 2011 dont l'écriture décimale ne comporte que des 6.
PS : n'essayer pas de trouver ce multiple, j'ai cherché en posant la multiplication comme en primaire, j'ai trouvé les 40 derniers chiffres mais ça se finit toujours pas :mur: :mur: :mur:
il faut donc une preuve théorique, avec des congruences peut-être ...

[Anonyme]

Bonjour,

Je pensais à utiliser des congruences.
Sachant que 2011 est congrus à 4 modulo 9, 2010*2011^3 est congrus à 0 modulo 9.
De plus, tout nombre dont l'écriture décimale ne comporte que des 6 et qui possède 3k nombres est congrus à 0 modulo 9.

Une fois cela fait, peut-être utiliser le principe des tiroirs ? :)

[benekire2]

Comment s'écrit un nombre qui ne comporte que des 6 ??

[Anonyme]

6*(10^n + 10^(n-1) + 10^(n-2) + ... + 10^2 + 10^1 + 1) ; je suppose ? :)

[nodjim]

2011 est premier. J'ai écrit il y a pas si longtemps qu'un repunit (un nombre écrit avec seulement des 1) était toujours multiple d'un premier différent de 2 ou 5. Chercher du coté de Fermat la théorie.

[benekire2]

Aiie > Oui, factorise maintenant.

[ppcrepin]

Aiie > Oui, factorise maintenant.

ça fait donc 6 * 11111...111
il suffirait donc de montrer que qu'il existe un multiple de 2011 ne s'écrivant qu'avec des 1, mais bon ça change pas grand chose au problème si ?

[benekire2]

ben ça change rien mais de toute façon, c'est pas bien ardu , en fait si a est impair non multiple de 2 ou de 5 (i.e pgcd(a,10)=1) on peut toujours trouver un multiple de a qui s'écrit qu'avec des 1 :

le multiple en question qui s'écrit qu'avec des 1 est de la forme on cherche donc p tel que ie qui n'est possible que quand 10 et a sont premiers entre eux (Bezout).

[ppcrepin]

d'accord oui ça marche, merci et bonnes fêtes !

[ppcrepin]

qui n'est possible que quand 10 et a sont premiers entre eux (Bezout).

10 et a sont premiers entre eux est une condition nécessaire mais est-elle suffisante ?
en effet si , on a pas forcément donc la congruence non ?
En fait j'ai plutôt utilisé le petit théorème de Fermat :
- 2011 est premier
- 2011 ne divise pas 10
donc
d'où le résultat

[yann.grizonnet]

Le plus petit multiple de la forme demandée est composé de 670 chiffres tous égaux à 6.