Argent,argent,argent

[jlb]

Avec ta relation de récurrence, u1=e-2, pas 2e-3.

C'est ma faute, l'énoncé n'est pas assez précis. On verse e-1 euros la première année. Et pour n>=2, le capital de l'année n est n fois le capital de l'année n-1, résultat auquel on retranche 1 euro.

désolé, pour ce manque de précision, mais bon... c'est mon style, je crois.

soit u(1)=e-1, u(2)=2e-3 et la relation de récurrence donnée par fma, plus haut.

encore désolé, mais bon, ce n'est pas la première fois où dans un énoncé,il faut trouver la question :ptdr:

[adrien69]

Ah OK j'avais commencé par initialiser avec u0. Navré pour le dérangement.

[jlb]

Bonjour, en ce cas tu as u1 = 7,1828182846E-01 tendrait forcément vers 0, non ? Et il n'y a rien à prouver.
Ce ne serait pas plutôt u1=e-1 ?

en fait c'est plutôt moins l'infini pour u(1)e-1 et 0 pour u(1)=e-1

[fma]

en fait c'est plutôt moins l'infini pour u(1)1 et 0 pour u(1)=e-1

Merci pour cette précision

[adrien69]

En fait quand on regarde l'équation fonctionnelle f(x+1)=(x+1)f(x)-1, on remarque que f est très proche de la fonction gamma. Donc on exprime f comme une combinaison linéaire de gamma et d'une fonction g, gamma n'intervient pas et ne change rien. C'est pour ainsi dire une solution homogène de l'équation. Forts de notre remarque on peut alors chercher g comme une fonction gamma généralisée. Mais c'est assez compliqué.

[jlb]

En fait quand on regarde l'équation fonctionnelle f(x+1)=(x+1)f(x)-1, on remarque que f est très proche de la fonction gamma. Donc on exprime f comme une combinaison linéaire de gamma et d'une fonction g, gamma n'intervient pas et ne change rien. C'est pour ainsi dire une solution homogène de l'équation. Forts de notre remarque on peut alors chercher g comme une fonction gamma généralisée. Mais c'est assez compliqué.

Trop compliqué mais cela se tient!! Pour l'instant, c'est Lostounet qui chauffe le plus avec son premier post. (On peut obtenir une expression explicite de Un pas trop compliquée)

[adrien69]

Trop compliqué mais cela se tient!! Pour l'instant, c'est Lostounet qui chauffe le plus avec son premier post. (On peut obtenir une expression explicite de Un pas trop compliquée)

Ça marche surtout

[Lostounet]

Ton truc est vrai ? À partir de ça la solution est plus ou moins évidente.

Avec ta relation de récurrence, u1=e-2, pas 2e-3.

Try this:
:blah:

P.S: Comment rectifier ma formule explicite du premier post? J'ai l'impression qu'elle est fausse.

erreurs d'arrondis lors du calcul, la valeur e-1 est essentielle si tu n'utilises pas la valeur exacte, la suite peut tendre vers plus l'infini.

Mais wolfram affiche quand même des valeurs exactes !?

[adrien69]

Nan mais ça marche Lostounet. En plus ça nous dit que u_n est décroissante, et positive, on en déduit qu'elle a une limite, et on peut en déduire que c'est 0, puis en donner un développement limité en 1/n

[Lostounet]

Je ne m'y attendais pas lol.
Tant mieux alors non? :p

P.S: Essaye pour de gros "n" pour mieux vérifier!

[adrien69]

Pourquoi vérifier ? J'ai résolu de façon suffisante l'équation fonctionnelle. Pas besoin de vérifier.

(avec ton aide bien sûr)

[jlb]

Nan mais ça marche Lostounet. En plus ça nous dit que u_n est décroissante, et positive, on en déduit qu'elle a une limite, et on peut en déduire que c'est 0, puis en donner un développement limité en 1/n

Bonsoir Adrien, tu peux me donner les commandes pour obtenir tous ces résultats?

J'ai suivi les consignes de Lostounet avec sa dernière expression et cela me donne plus l'infini comme limite {commande limite of(....)} donc je suppose que la formule explicite donnée par Wolfram est bidon?

sinon pour obtenir la formule explicite, c'est une sorte de "téléscopie" Un=nU(n-1)-1;
nU(n-1)=n(n-1)U(n-2) - n; n(n-1)U(n-2)=n(n-1)(n-2)U(n-3) -n(n-1);.... ;(n!/2)U(2)=n!U(1)-n!/2

d'où U(n)=n!U(1) -1-n-n(n-1)...-n!/2 =n!(U(1) - 1/n! -1/(n-1)!-...1/2) =n! (e -1 -1/n!-1/(n-1)!...-1/2) = n!(rested'ordre(n+1)de e définie par série) joli, non?

[adrien69]

Les commandes ?

[jlb]

Les commandes ?

"ça" marche..."ça" nous dit. Je pensais que tu utilisais d'autres fonctionnalités de Wolfram pour obtenir une forme explicite correcte.

[fma]

Le même exercice ici, page 1 n°3
"les problèmes numériques que l’on peut constater quand
on implémente e;)ectivement un schéma algorithmique"

http://monge.u-bourgogne.fr/ebusvelle/ANtd1.pdf

[jlb]

Le même exercice ici, page 1 n°3
"les problèmes numériques que l’on peut constater quand
on implémente e;)ectivement un schéma algorithmique"

http://monge.u-bourgogne.fr/ebusvelle/ANtd1.pdf

j'avais trouvé cela sympa!!! c'est le cas, non?

[fma]

j'avais trouvé cela sympa!!! c'est le cas, non?

Sacrebleu ! Saine activité neuronale avant l'alzeimer.

[adrien69]

"ça" marche..."ça" nous dit. Je pensais que tu utilisais d'autres fonctionnalités de Wolfram pour obtenir une forme explicite correcte.

Ah non ! J'utilise ça :

[adrien69]

Ça me dit que est positif sans problème, et que si on considère u comme une fonction, on dérive dans l'intégrale, et on a u'(n)=nu(n-1) ou un truc du genre. Ce qui nous donne une équation dfférentielle à retard, classique dans les problèmes de transport (fluides ou électromagnétiques si les antennes sont loin), on peut donc s'en inspirer pour analyser u (google ne tarit pas de liens sur ces équa diffs fonctionnelles).
Bref pour en revenir à nos moutons (je me suis un peu égaré), on va pouvoir montrer la convergence.


Aux erreurs de calcul près

[jlb]

Ah non ! J'utilise ça :

C'est l'expression de Lostounet, donnée par Wolfram, sous forme explicite, non?

Si je suis ton raisonnement, la forme explicite doit ressembler à peu près à cela, c'est ça?

Bon, je suis preneur pour la fin du raisonnement si tu as le temps.

(il faut que je fasse travailler mes neurones en permanence, ils sont comptés!!!( merci fma :hum: ))

à +; merci.

[dans la réponse postée plus haut, il manque une dernière étape : le reste d'ordre(n+1) de e sous forme de série équivaut à 1/(n+1)!]