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Olympiades mathématiques, énigmes et défis
jlb
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par jlb » 06 Aoû 2013, 20:33

Bonsoir, un banquier vous propose le placement suivant: vous réalisez un versement initial de e-1€ et votre capital la nième année est égal à n fois votre capital de l'année précédente moins 1€ pour frais de gestion. Faites-vous l'investissement pour financer votre retraite?



Sourire_banane
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par Sourire_banane » 06 Aoû 2013, 20:57

Hmmm...

Nous avons la relation de récurrence
En posant

Mais comment résoudre la relation de récurrence ?

fma
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par fma » 06 Aoû 2013, 22:54

Faites-vous l'investissement pour financer votre retraite?

Image

Sur excel mes sommes diminuent ( un problème dans l'énoncé, puisque la première année on n'a que 7,1828182846E-01euros)


Sourire_banane a écrit:Hmmm...

Nous avons la relation de récurrence
En posant

Mais comment résoudre la relation de récurrence ?


Sourire_banane, tu es sûr de ta relation de récurrence ?
Je trouve

année 1 :
année 2 :
année 3 :
...
soit

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par Lostounet » 07 Aoû 2013, 00:00

Sourire_banane a écrit:Hmmm...

Nous avons la relation de récurrence
En posant

Mais comment résoudre la relation de récurrence ?



Une étude asymptotique de l'explicite (qui ne semble pas trop marcher mais bon). Mais bon cherchons quelque chose du style:



Image
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fma
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par fma » 07 Aoû 2013, 00:09

Faites-vous l'investissement pour financer votre retraite?

C'est un classique ...... :briques:

ImageImageImage

Mais expérimentalement, à part une erreur, je gagne du fric.

Image

Si on en perd, ça va faire du bruit !

Sourire_banane a écrit:Hmmm...

Nous avons la relation de récurrence
En posant

Mais comment résoudre la relation de récurrence ?


Sourire_banane, tu es sûr de ta relation de récurrence ?

Je trouve
Année 1 :
année 2 :
année 3 :
année 4 :
...
soit


Si quelqu'un a une Casio, ça donne quoi ?

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par Lostounet » 07 Aoû 2013, 00:56

fma a écrit:


Si quelqu'un a une Casio, ça donne quoi ?




:doh:
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fma
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par fma » 07 Aoû 2013, 01:01

Lostounet a écrit:

:doh:


C'est une histoire d'instabilité de calcul, mais je ne le remarque pas, ni sur ma vieille Texas.

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par Lostounet » 07 Aoû 2013, 01:02

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fma
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par fma » 07 Aoû 2013, 01:12



Normalement la banque, le pc...ne trouvent pas le même résultat en raison du traitement chaotique du signal et des limites de nos outils. Et au final, le calcul idéal donne une pièce de 6 sous.
Mais on a peut-être mal compris l'hypothèse pour ne rien trouver expérimentalement.

jlb
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par jlb » 07 Aoû 2013, 10:13

fma a écrit:Normalement la banque, le pc...ne trouvent pas le même résultat en raison du traitement chaotique du signal et des limites de nos outils. Et au final, le calcul idéal donne une pièce de 6 sous.
Mais on a peut-être mal compris l'hypothèse pour ne rien trouver expérimentalement.


Salut, c'est ça. La suite (Un) tend vers 0. Je n'investis donc pas!!! A priori suivant les logiciels de calcul, cela semble tendre vers l'infini mais ce n'est pas le cas.
Lostounet était bien parti avec son étude [ Un est équivalent à 1/(n+1)].

jlb
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par jlb » 07 Aoû 2013, 11:22




salut Lostounet, j'ai modifié la valeur initiale sur ton lien pour "voir" (tu as mal initialisé la suite donc le défi tombe à l'eau [u(1) à la place de u(0)], c'est mieux) et cela n'affiche plus le tableau de valeurs. Y a-t-il une manipulation particulière ou c'est quand il veut?
Je découvre Wolfram, si tu as la solution, merci.

A priori avec cette valeur initiale, Wolfram dit "ça a la tête d'un truc qui tend vers l'infini" [ j'ai cliqué sur l'expression de Un en fonction de n et un joli graphe est apparu mais pas de tableau de valeurs. On peut lui demander la limite de la suite?)]

Sourire_banane
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par Sourire_banane » 07 Aoû 2013, 11:29

fma a écrit:C'est un classique ...... :briques:

ImageImageImage

Mais expérimentalement, à part une erreur, je gagne du fric.

Image

Si on en perd, ça va faire du bruit !



Sourire_banane, tu es sûr de ta relation de récurrence ?

Je trouve
Année 1 :
année 2 :
année 3 :
année 4 :
...
soit


Si quelqu'un a une Casio, ça donne quoi ?

Oui oui t'as raison je dis n'importe quoi ces temps-ci :mur:

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par jlb » 07 Aoû 2013, 11:44

Sourire_banane a écrit:Oui oui t'as raison je dis n'importe quoi ces temps-ci :mur:


Bof,
fma: les indices? mais bon, c'est la bonne relation
Lostounet: dans Wolfram, c'est pas la bonne suite implémentée
Y a des jours comme ça ( et moi ça m'inquiète quand cela ne m'arrive pas :cry: )

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par Lostounet » 07 Aoû 2013, 12:09

jlb a écrit:salut Lostounet, j'ai modifié la valeur initiale sur ton lien pour "voir" (tu as mal initialisé la suite donc le défi tombe à l'eau [u(1) à la place de u(0)], c'est mieux) et cela n'affiche plus le tableau de valeurs. Y a-t-il une manipulation particulière ou c'est quand il veut?
Je découvre Wolfram, si tu as la solution, merci.

A priori avec cette valeur initiale, Wolfram dit "ça a la tête d'un truc qui tend vers l'infini" [ j'ai cliqué sur l'expression de Un en fonction de n et un joli graphe est apparu mais pas de tableau de valeurs. On peut lui demander la limite de la suite?)]



Je ne sais pas si c'est la suite voulue, mais oui il est tout à fait possible de demander la limite d'une suite à wolfram. J'ai utilisé la forme explicite qu'il a trouvée, ici .

Si ce n'est pas la bonne suite il faudra rectifier la relation de récurrence (j'ai utilisé celle de fma, c'est pas la bonne?). Maintenant, je ne sais pas s'il fait une erreur dans le calcul de la limite, il y a parfois possibilité de demander une solution détaillée (cliquer "Step by step solution").

On peut aussi demander des tables de valeurs, avec des [url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=Table[%281%2Be%29+Gamma%28n%2B1%29-e+Gamma%28n%2B1%2C+1%29%2C+{n%2C+10}]valeurs exactes[/url].

Des valeurs approchées aussi avec l'instruction suivante: Table[N[(1+e) Gamma(n+1)-e Gamma(n+1, 1)], {n, 10}]]

P.S: Pour augmenter le nombre des valeurs données, il suffit de modifier le "10" dans {n, 10}. Mais attention, risque de Timeout.
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jlb
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par jlb » 07 Aoû 2013, 12:19

merci beaucoup, pour toutes ces infos qui me seront bien utiles.

[ Dans le premier lien, tu avais implémenté avec u(0)=e-1 mais c'est corrigé dans le dernier, du coup, Wolfram se plante, la suite tend vers 0 en plus l'infini]
A +

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par Lostounet » 07 Aoû 2013, 12:22

Pourquoi Wolfram dit-il alors que la suite tend vers +infinity ?
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jlb
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par jlb » 07 Aoû 2013, 12:38

Lostounet a écrit:Pourquoi Wolfram dit-il alors que la suite tend vers +infinity ?

erreurs d'arrondis lors du calcul, la valeur e-1 est essentielle si tu n'utilises pas la valeur exacte, la suite peut tendre vers plus l'infini.

adrien69
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par adrien69 » 07 Aoû 2013, 14:53

Lostounet a écrit:

:doh:

Ton truc est vrai ? À partir de ça la solution est plus ou moins évidente.

adrien69
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par adrien69 » 07 Aoû 2013, 15:14

Avec ta relation de récurrence, u1=e-2, pas 2e-3.

fma
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par fma » 07 Aoû 2013, 15:28

adrien69 a écrit:Avec ta relation de récurrence, u1=e-2, pas 2e-3.


Bonjour, en ce cas tu as u1 = 7,1828182846E-01 tendrait forcément vers 0, non ? Et il n'y a rien à prouver.
Ce ne serait pas plutôt u1=e-1 ?

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