Application du Théorème d'Erdõs-Selfridge

[OhDaesu]

Bonjour à toutes et à tous,

Afin de prouver que le produit de trois entiers consécutifs ne peut être une puissance n = a^b, on écarte le triplet (n-1, n, n+1) avec n=1 (produit nul qui n'est pas une puissance).

En décomposant n en un produit uv nous avons n=c^b et n²-1=d^b. Mais ces facteurs sont premiers entre eux (les trois entiers sont consécutifs) donc ces derniers sont également élevés à une puissance multiple de b.

Afin de prouver la contradiction, écrivons 1 = n² - (n² - 1) = (c²)^b - d^b. Il apparaît évident que c² > d.
Par contre, et c'est là où mes limites commencent à poindre, c'est la contradiction mise en évidence par l'auteur:

1 >= (d+1)^b - d^b >= bd^b-1 > 1

Quid du binôme de Newton, du corollaire du petit théorème de Fermat ?

Je suis déjà reconnaissant que l'on veuille éclairer ma modeste lanterne en détaillant ces inégalités.

[Ben314]

Salut,
Je comprend pas trop ce que fait l'auteur avec sa double inégalité.
Tu as (c²)^b = n² > n²-1 = d^b donc c² > d c'est à dire c² >= d+1 (supérieur ou égal) vu que ce sont des nombres entiers.
D'où (c²)^b >= (d+1)^b >= d^b + b*d^(b-1) (début du binôme de newton) puis, comme b>=2 et d>=1,
n² = (c²)^b >= d^b + 2 = (n²-1) + 2 = n²+1 : contradiction.

PS : "ton "on écarte le produit nul qui ne peut être une puissance" me semble on ne peut plus foireux : 0 c'est bien évidement une puissance n-ième et ceci quelque soit l'entier n.