Application de l'homogénéisation

[Olympus]

Une question :

Bon alors c'est pas a propos des transformations de ravi (je connais) mais a propos des inégalités. l'IAG je connais. Mais je lis souvent chez toi olympus des "AM-GM pondéré" c'est quoi au juste ?

Merci

Regarde ici

^^

[benekire2]

A, tu avais l'air de dire que fallait passer par jensen pour la prouver,

alors pour la pondérée je sais pas mais pour la version "normal" celle que j'appelle l'IAG, j'ai soit par récurrence , soit plus joli:

En notant A la moyenne arithmétique et G la géométrique et (a_i) ma famille :

donc il vient rapidement


Qui se réécrit:



i.e comme le membre de gauche vaut 1 :

et on conclu facilement que

[Olympus]

L'AM-GM se prouve par des méthodes plus softs que par la convexité, comme par l'inégalité du réordonnement, ou par la récurrence de Cauchy ( celle où on la montre pour les puissances de 2, puis on montre que si elle est vraie pour un N, alors elle l'est aussi pour N-1 ), ou encore par Muirhead ( c'est trivial comme la séquence majore ) . Et tous les cas particuliers se prouvent facilement par réécriture sous somme de carrés ^^

C'est plutôt l'AM-GM pondérée pour laquelle je n'ai pas trouvé de preuve élémentaire, à part passer par la convexité ou Jensen .

[benekire2]

ba, pour l'AM-GM , la méthode que j'ai utilisé est celle de Polya, elle est vachement simple. Le problème d'utiliser muirhead là dessus c'est qu'il faut prouver muirhead.

Bref, cela ne résous pas l'AM-GM pondérée ...

[manon_n]

Allez, tient, juste pour voir, torche moi avec des complexes et toute la "géométrie invertive" (que je sais pas ce que c'est) que tu veut le petit problème suivant :
Soient C le cercle circonscrit à un triangle (non dégénéré) et C' son cercle inscrit.
Partant d'un point M de C, on construit les deux tangentes T1 et T2 à C'passant par M.
Ces deux tangentes recoupent C respectivement en N1 et N2.
Montrer que la droite (N1N2) est tangente à C'...

Juste pour dire que NON, la géométrie, contrairement aux inégalités, ça ne se résume pas et ça ne se résumera jamais à deux/trois recettes que l'on applique.

Bonjour,

je suis intéressée par cet exercice, mais je n'arrive pas a montrer que C' est le cercle circonscrit à MN1N2 , quelqu'un pourrait -il m'aider ?

Je vous remercie par avance.

[Ben314]

Trés honètement, je ne connais pas de méthode simple pour résoudre cet exercice (c'est d'ailleur pour cela que je l'ai mis...) c'est en fait un cas particulier du "grand théorème de Poncelet".
Dans le cas particulier du triangle, je pense qu'une approche peut consister à commencer par montrer que, dans tout triangle, si O et I désignent respectivement les centre des cercles circonscrit et inscrit R et r leurs rayons, on a OI²=R²-2rR. La preuve la plus simple de ce résultat utilise les inversions.
On doit sans dout aussi pouvoir le faire avec des complexe, mais je pense que ça risque d'être fortement calculatoire...

[benekire2]

Salut à tous ,

J'avoue ne pas avoir trop cherché sur ce problème et donc rien trouvé ^^
Mais je pensais que c'était possible avec de la patiente pat les complexes en identifiant le cercle circonscrit au cercle unité. Mais c'est vraiment chaud j'ai l'impression.

Pour la démonstration de OI²=R²-2rR le plus simple c'est la puissance d'un point par rapport à un cercle. Bon, ok , c'est un peu de l'inversion ...

Bonne chance manon ^^