Application de l'homogénéisation

[Olympus]

Bonsoir !

Voici des inégalités faciles ( aucun théorème requis ) pour appliquer l'homogénéisation :we:

1)

Soient les longueurs des côtés d'un triangle tels que .

Montrer que : .

2)

Soient tels que .

Montrer que : .

Je donnerais des indices s'il le faut .

Bonne chance !

[Anonyme]

Pour la première, il faut utiliser l'indication (a+b+c)=1, ça j'ai compris mais après...
Je dois utiliser l'identité remarquable (a+b+c)² ?

[Olympus]

Pour la première, il faut utiliser l'indication (a+b+c)=1, ça j'ai compris mais après...
Je dois utiliser l'identité remarquable (a+b+c)² ?

Oui pour avoir partout du degré 2 ( et ainsi arriver à homogénéiser l'inégalité ) .

[Anonyme]

Donc je peux remplacer a²+b²+c² par (a+b+c)²-(2ab+2bc+2ca) ?

[Olympus]

Donc je peux remplacer a²+b²+c² par (a+b+c)²-(2ab+2bc+2ca) ?

Non, plutôt par car sinon t'aurais rien fait ...

[Olympus]

Bon pour ne pas laisser ces petits exos sans réponses ( dommage qu'ils n'ont intéressé que Titux :triste: ), voici les corrigés :

Pour le 1)

sont les longueurs de cotés d'un triangle, donc par la substitution de Ravi : .

Homogénéisation :

Donc .

Donc l'inégalité de départ devient équivalente à

Ce qui est trivial .

( PS : cela marche aussi sans la subtitution de Ravi, en écrivant tout en fonction de a+b-c, a-b+c et b+c-a )

Pour le 2)

L'inégalité de départ est équivalente à :



Homogénéisation :




Il n'y a pas de "-" dans l'inégalité, donc au lieu d'essayer de réécrire en fonction de (x-y)², ce sera en fonction de (x+y)² . Et vu que nous n'avons que deux variables, donc il n'y aura qu'un seul carré à tester : (x+y)² . À la main ou avec la division euclidienne des polynômes à plusieurs variables , on aura :



.

Ce qui est trivial .

[miikou]

x²+y²+xy=1

=> x^3y = x²( 1-x²-y²)

=> y^3x = y²(1-x²-y²)

donc x^3y + y^3 x = (x²+y²)(1-(x²+y²) )

voila voila sous la condition (i) on a bien le resultat ( optimisation sous contrainte )

[Olympus]

Euh ? Je ne vois pas en quoi cela te permet de conclure si facilement ( enfin, juste les quelques lignes que tu as écrit ) ... Sinon le but ici était l'application de l'homogénéisation ^^

[miikou]

"optimisation sous contraintes " sur google tu verra bien

[Olympus]

Multiplicateurs de Lagrange je suppose ? http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_multipliers

Méthode bourrin mais elle a l'avantage de pouvoir torcher la plupart des inégos ( j'avais lu quelque part qu'elle était autorisée aux IMO, mais qu'il faut la faire sans fautes sinon c'est zéro direct, même aucun point pour "l'idée" ) .

[Despo]

Je ne fais pas encore d'inegalité mais j'ai une question,si cette methode toche toutes les inegos pourquoi ne pas l'apprendre a fond et s'entrainer dessus plutot que d'apprendre plein de methodes?

[Olympus]

Je ne fais pas encore d'inegalité mais j'ai une question,si cette methode toche toutes les inegos pourquoi ne pas l'apprendre a fond et s'entrainer dessus plutot que d'apprendre plein de methodes?

Parce que c'est du noskill, et les correcteurs ( d'après ce que j'ai lu sur Mathlinks ) donnent 0 si le raisonnement avec cette méthode n'est pas parfait ( faut démontrer tout ) .

[Despo]

Mais pour ca autant apprendre a le demontrer parfaitement ?
Enfin ca n'empeche pas d'apprendre d'autre methode,mais en dernier recours si on a aucune idée?

[Olympus]

Quelques citations :

To solve these problems, what is called for is insight and ingenuity; ideas which go to the heart of the problem. Often, these problems hav e short, slick solutions, compared to the reams of pages that students often submit in the actual competition. Brute force techniques, such as Coordinate Geometry and Lagrange Multipliers are generally scorned, and marked harshly.

The use of Lagrange Multipliers in any solution will almost certainly
draw hostile review, in the sense that the tiniest of errors will be grounds for null
marks. If you consider multipliers on Olympiads, be diligent and provide explicit,
kosher remarks about the continuous first partial derivatives of both and
the constraint , as well as , before proceeding to solve the
system . The main reason this approach is so severely detested is that, given
sufficient computational fortitude (if you are able to sort through the relevant algebra
and Calculus), it can and will produce a complete solution. The example provided here
is included for completeness of instruction; typical multipliers solutions will not be as
clean or painless.9

[poiuytreza]

De plus les calculs deviennent parfois trop lourds pour pouvoir être faits sans machine. Mais surtout, je pense que ceux qui choisissent les exos font attention à éliminer les exos qui peuvent se torcher comme ça. C'est pour ça qu'à mon avis il y aura de moins en moins d'inégalités aux IMO (surtout en 3 variables...)

[Olympus]

Mais surtout, je pense que ceux qui choisissent les exos font attention à éliminer les exos qui peuvent se torcher comme ça.

Cela n'a pas été le cas avec l'IMO de 2008, mais d'accord avec toi sur l'ensemble ^^

[poiuytreza]

Raison de plus pour qu'ils fassent attention par la suite !
(bon après je suis pas forcément neutre : comme tu l'as sûrement remarqué, j'aime pas trop les inégalités :--: )

[Olympus]

Y a pas que les inégalités qui ont des méthodes standard marchant à tous les coups ( ou presque ), y a aussi la géométrie avec les complexes et aussi la méthode avec la géométrie inversive . Pour les équations fonctionnelles, n'en parlons pas . Après, il reste des exos qui se torchent difficilement comme les exos arithmétiques, et combinatoires, enfin, jusqu'à maintenant, je n'ai pas encore pu trouver de méthode bourrin qui marche à tous les coups .

[poiuytreza]

Faut pas exagérer, l'analytique ça marche pas à tous les coups en géométrie (et heureusement d'ailleurs)

[Olympus]

@poiuytreza : Euh je ne parle pas non plus des bases de la géométrie des complexes enseignées en TS, mais plutôt des techniques présentées dans les livres cités ici http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=50&t=20205, comme "Complex Numbers from A to Z" de Titu Andreescu et Dorin Andrica .