Anneau commutatif ou pas ?

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ThSQ
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par ThSQ » 14 Nov 2008, 20:00

Oui c'est vrai aussi, d'ailleurs il y a un théorème général bien plus puissant (s'il existe n(x) tq pour tout x alors ....)

Dans ce cas-ci mon voisin de tableau l'a eu en khôlle last year, de mémoire on montre que 6*x = 0 puis en joue avec



ThSQ
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par ThSQ » 14 Nov 2008, 20:33

Angélique_64 a écrit:Tu as des références ?


Je crois que c'est un th. dû à Jacobson, un radical celui-là. J'ai aucune idée de la démo qui doit être velue.

ffpower
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par ffpower » 14 Nov 2008, 22:50

dans la derniere RMS,il est fait..Sinon pour n=3 j avais trouver une demo elementaire(bidouille bidouille..)

jeancam
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par jeancam » 15 Nov 2008, 03:11

j ai trouvé une démo du résultat géneral qui utilise le réultat connu pour un corps (je crois que tout corps algebrique sur un corps fini est commutatif

l idée vraiment belle est de considerer l ideal annulateur a gauche d un element a
on l appelle A. on remarque que c est en fait un anneau qui a pour unité 1-a^(n-1)=e ( c est manifestement une unité a droite mais en devellopant (x-ex)^2 et en remarquant qu aucun element n est nilpotent on a que cest une unité à gauche)
on remarque maintenant que pour tout t dans l anneau te est dans A donc ete=te
en faisant la meme operation à droite on obtient ete=et
donc pour tout a, a^(n(a)-1) est dans le centre.

on montre ensuite que tous les ideaux sont bilatere ( a est dans un ideal ou est a^(n-1))
ensuite on quotiente par un ideal maximal, j ai dit plus haut que le résultat est vrai dans un corps donc xy-yx appartient l intersection des ideaux maximaux qui est le radical de jacobson c est a dire l ensemble des a tel que 1-ax inversible. on voit facilement qu il est nul et on devrait avoir le résultat.

ffpower
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par ffpower » 16 Nov 2008, 14:07

Comment tu montres que tous les idéaux sont bilateres?(je n ai pas compris le "a est dans un idéal ou est a^(n-1)")

jeancam
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par jeancam » 16 Nov 2008, 15:52

soit A l ideal engendré par les ai
set B l ideal engendré par les ai^(n-1)
B est inclus dans A, clairement
mais A aussi car ai^(n-1)ai=ai
donc A=B et B est bilatere puisque ne contenant que des elements du centre.

jeancam
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par jeancam » 02 Déc 2008, 22:13

bonjour
j ai admis dans ma démonstration le résultat pour un corps. j essaie maintenant de le démontrer. j ai raisonné par l absurde et il me reste à prouver qu il existe un element qui ne soit pas dans le centre mais son carré oui.
est ce vrai dans tout corps non commutatif?
la reponse est peut etre triviale mais je suis un peu débutant dans cette matiere...
si j avance sur ce sujet je donnerais ma demo apres avoir verifié qu elle tient debout. ou dumoins qu elle boite pas trop...

jeancam
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par jeancam » 13 Déc 2008, 18:10

çà y est ouf
c est montré
si çà branche qqun je donne la demo.

ffpower
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par ffpower » 13 Déc 2008, 18:11

ca me branche^^

jeancam
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par jeancam » 13 Déc 2008, 20:04

on se place dans K corps. on veux montrer que si pour tout x il existe n telque x^n=1 le corps est commutatif.

un petit lemme
si X est le groupe engendré par x et que a^-1Xa=X alors xa=ax
on a pour tout m a^-m.x.a^m=x^k pour un k
donc les produits dans le corps engendré par x et a sont de la forme a^p.x^q
ils sont en nombre fini (car chaque element est d ordre fini par hypothese)
les sommes de produits sont aussi en nombre fini car on est en caracteristique non nulle.
le corps est fini donc commutatif. ax=xa

soit x dans K tel que si C est un sous corps strict du corps engendré par x alors C est inclus dans le centre Z de K.

lemme 2
si a ne commute pas avec x et que X est le groupe engendré par X
alors a^-1Xa inter X est inclu dans le centre Z

soit y un element de l intersection
y=a^-1.x^k.a=x^h
x^k et x^h ont meme ordre donc sont generateurs d un meme groupe cyclique donc l un est une puissance de l autre donc y=a^-1.x^k.a=(x^k)^j

donc a commute avec tous les element du corps engendré par x^k (d apres le premier lemme) ce qui n est possible que si ce corps est le centre.(voir comment on a choisi x(et a)) donc y est dans Z


on pose maintenant Y=réunion pour i de 1 à k des conjugués par a^i de X
(k est le plus petit entier tel que a^-(k+1)Xa^(k+1)=X

on a a^-1(X union Y)a=X union Y
d apres le lemme 2 X inter Y est dans Z
soit X'(resp Y') l ensemble des element de X(resp Y) tel que a^-1X'a=X'(resp...)
X'=X inter Y inclu dans Y' et dans Z
X-X' et Y-Y' disjoints et s echangent par conjugaison par a
donc X-X' commute avec a^2
ainsi que X' inclus dans Z
donc X-X' union X'=X commute avec a^2
donc a^2 commute avec x pour tout a

en caracteristique 2 tout element est d ordre impaire donc ax=xa
en car non 2 (a+1)^2 commute avec x donc 2x donc x et X est dans le centre ce qui est exclus.
cqfd

(bon il faut faire un petit dessin pour les reunions et intersection mais je pense que c est bon.

ffpower
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par ffpower » 17 Déc 2008, 05:37

dsl de répondre tard..
-Pour le 1 er lemme,chui ok
-Pour le 2eme lemme chui ok.Ya juste le
soit x dans K tel que si C est un sous corps strict du corps engendré par x alors C est inclus dans le centre Z de K.
qui m a posé probleme car on est a priori pas sur qu il existe,mais en fait c est bon.Un moyen de faire:"soit x0 pas dans Z,Z(x0) est commutatif,soit x dans Z(x0) de degré minimal sur Z".Ca aurait été mieux de le préciser,mais bon,ca marche en tout cas
-Bon pour la suite par contre,tu écris des trucs obscurs:
soit X'(resp Y') l ensemble des element de X(resp Y) tel que a^-1X'a=X'(resp...)

Tu définis un ensemble par une propriété?ou alors tu voulais écrire:"soit X' l ensemble des element x' de X tel que a^-1x'a=x'?
Des précisions s imposent la lol
Et la ligne d apres est encore plus obscure:
X'=X inter Y inclu dans Y' et dans Z

Je comprend comment faut lire cette phrase lol(et c est d autant plus dur que je n ai pas compris la définition de X' mdr)

Bon du coup j attend ta réponse pour lire la suite^^.En tout cas ca part d une bonne idée je trouve(surtout le lemme 1)

ffpower
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par ffpower » 17 Déc 2008, 07:05

jeancam a écrit:donc xy-yx appartient l intersection des ideaux maximaux qui est le radical de jacobson c est a dire l ensemble des a tel que 1-ax inversible.


Est ce que cette propriété du radical de Jacobson est vrai en non commutatif?as tu une preuve?(a vrai dire je connais meme pas la preuve dans le cas commutatif..)

jeancam
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par jeancam » 18 Déc 2008, 01:08

ffpower a écrit:dsl de répondre tard..
-Pour le 1 er lemme,chui ok
-Pour le 2eme lemme chui ok.Ya juste le qui m a posé probleme car on est a priori pas sur qu il existe,mais en fait c est bon.Un moyen de faire:"soit x0 pas dans Z,Z(x0) est commutatif,soit x dans Z(x0) de degré minimal sur Z".Ca aurait été mieux de le préciser,mais bon,ca marche en tout cas

ah le chipoteur!!! mais bon tu as raison j aurais pu glisser un"on sait qu il existe"
-Bon pour la suite par contre,tu écris des trucs obscurs:

ffpower a écrit:Tu définis un ensemble par une propriété?ou alors tu voulais écrire:"soit X' l ensemble des element x' de X tel que a^-1x'a=x'?
Des précisions s imposent la lol

j ai oublié un ensemble maximal ("on sait qu il existe" lol argument j aurais dit comme plus haut d'ailleurs "finitude")
Et la ligne d apres est encore plus obscure:
j y repond dans le prochain post il faut que je relise ce que tu me "reproche"lol

jeancam
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par jeancam » 18 Déc 2008, 01:24

jeancam a écrit:X'=X inter Y inclu dans Y' et dans Z

d apres le lemme 2 (et le 1 (car l ensemble maximal etc.. EST l ensemble des x de X tel que a^-1xa=x)
X' et Y' sont dans Z
il reste à voir X' inclus dans Y'
c est vrai car si x commute avec a alors x appartient à clairement Y
mais aussi à Y' puisque a^-kxa^k=x (toujours d apres le lemme 1, la bonne à tout faire)
j espere que c'est un peu plus clair...lol

jeancam
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par jeancam » 18 Déc 2008, 18:23

jeancam a écrit:d apres le lemme 2 (et le 1 (car l ensemble maximal etc.. EST l ensemble des x de X tel que a^-1xa=x)
X' et Y' sont dans Z
il reste à voir X' inclus dans Y'
c est vrai car si x commute avec a alors x appartient à clairement Y
mais aussi à Y' puisque a^-kxa^k=x (toujours d apres le lemme 1, la bonne à tout faire)
j espere que c'est un peu plus clair...lol


en fait je me rends compte que j ai ommi de dire qu il faut aussi que Y' inter X soit inclus dans X' (car comme çà X-(X' union Y')=X-X' et Y-X' unionY'=Y-Y' ces deux ensembles disjoints "s echangeant" par conjugaison)
il faut donc montrer qu un element de X pas dans X' ne peut etre dans Y' ni meme dans Y. supposons que ce soit le cas on aurait le conjugué d un x par une puissance de a (differente de 1) appartiendrait à X et donc serait dans le centre par d apres le lemme 2 or tout element du centre inter X appartient à X'...
10^3 excuses pour ces peripeties...

jeancam
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par jeancam » 29 Déc 2008, 22:23

ffpower a écrit:dans la derniere RMS,il est fait..Sinon pour n=3 j avais trouver une demo elementaire(bidouille bidouille..)

oui et la RMS va faire paraitre ma démo (plus courte). vous pourrez la voir en tex et remaniée...

ffpower
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par ffpower » 30 Déc 2008, 00:51

dsl,j ai pas encore pris le tps de relire ca en détail,mais je le ferai promis.En tout cas si RMS l a accepté,c est qu elle doit etre juste.Je voulais justement apres verification te suggerer de leur envoyer ta demo^^

jeancam
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par jeancam » 30 Déc 2008, 17:55

ffpower a écrit:dsl,j ai pas encore pris le tps de relire ca en détail,mais je le ferai promis.En tout cas si RMS l a accepté,c est qu elle doit etre juste.Je voulais justement apres verification te suggerer de leur envoyer ta demo^^

j espere qu elle est bonne car le directeur apres l avoir vu dans les grandes lignes m a dit qu il me faisait confiance...il devrait peut etre se mefier un peu :->

 

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