Analyse : calcul de fonction dérivée

[Archangelsk]

Bonjour,

Je ne suis pas sûr que ce soit la bonne rubrique, puisque je ne connais pas la réponse à ma question Je suis tombé sur une fonction intégrale dont je voudrais calculer la dérivée. Je connais les fonctions P,v et L définies sur R à valeurs positives, mais sans hypothèse de continuité. la fonction f est définie comme suit :



la fonction 1 est l'indicateur booléen : il vaut 1 si l'inégalité est vraie, 0 sinon. Pour l'instant j'ai réussi à trouver quelque chose dans le cas L = Cte, mais c'est tout. Si quelqu'un a envie de m'aider ou a une question, je suis à votre disposition.

Merci beaucoup !

[Skullkid]

Bonsoir,

Ce qui arrangerait beaucoup les choses ce serait une hypothèse de croissance sur L. Avec cette hypothèse, si j'appelle V une primitive de v alors l'indicatrice vaut 1 exactement quand L(u) + V(u) > V(t). Comme L+V est croissante, cette condition équivaut alors à quelque chose de la forme (inégalité éventuellement large si L a des discontinuités, mais ça n'a pas trop d'importance) et donc on peut écrire .

D'où, sous réserve de dérivabilité, . Typiquement les points de non-dérivabilité de f vont provenir des discontinuités de P et de L. Par exemple avec P et v constantes égales à 1 et L la fonction de Heaviside, f n'est pas dérivable en 0 et en 1.

Sans avoir la croissance de L (enfin de L+V, plus exactement), l'ensemble des u sur lequel porte l'indicatrice peut devenir très compliqué... Si L est continue on peut éventuellement l'écrire comme une réunion disjointe d'intervalles ouverts et arriver au bout du compte à une grosse formule pour f' avec plein de fonctions auxiliaires du genre de mon pour décrire les bornes de ces intervalles, mais je suis pas sûr que ça soit très intéressant.

[Archangelsk]

Bonjour et merci pour ta réponse !

Pour parler un peu physique, la fonction consiste à calculer l'énergie reçue par un fluide incompressible, de densité constante, circulant dans un tube chauffé uniformément. P est la puissance de chauffage, v la vitesse du fluide, et L la longueur de tube chauffé. Le tube est divisé en portions qu'on peut choisir de chauffer : L est donc constante par morceaux, et peut prendre un nombre fini de valeurs :

On peut donc créer un nombre fini de fonctions
vérifiant
en dérivant on obtient :

Grâce à cette propriété ça ne me coûte théoriquement pas trop cher de gérer toutes ces fonctions, et ça permet de résoudre le cas

Le pas suivant serait de calculer la dérivée pour une fonction de type

et c'est là que je sèche

[Skullkid]

Du coup je suis pas bien sûr de comprendre ta fonction indicatrice physiquement. Elle dit que si tu te places au temps t, ton fluide a reçu de l'énergie au temps passé u si et seulement si la distance parcourue entretemps par le fluide est inférieure à la longueur de tube qui était chauffée au temps u. Ça me paraît un peu étrange comme condition, mais j'ai sans doute mal compris ton système.

Quoi qu'il en soit, avec L en escalier, on se donne une subdivision telle que pour tout u dans . On définit les fonctions comme tu l'as fait par , ce qui permet d'écrire .

Les n premiers termes de la somme ne dépendent de t que lorsque , auquel cas on peut virer la fonction indicatrice en remplaçant la borne inférieure de l'intégrale par . Pour le dernier terme c'est le même principe sauf que la borne supérieure vaut t. D'où au final



Le tout sauf erreur de ma part, j'ai fait les calculs un peu vite donc faudrait vérifier sur des exemples.

[Archangelsk]

merci beaucoup ! les définitions de t0 et tn+1 sont peu orthodoxes, mais le résultat me paraît cohérent. Mon indicatrice me dit la quantité d'énergie absorbée par le fluide sortant du tube à l'instant t, sachant que la longueur chauffée est toujours la dernière portion du tube. ça doit expliquer la condition un peu farfelue.

Une conséquence imprévue est que dans certains cas réalistes on se retrouve avec f'(t)=P(t) : non seulement la quantité d'énergie absorbée par le fluide devient indépendante de la vitesse du fluide, mais en plus elle peut augmenter très rapidement... Bon à savoir !

[Skullkid]

Ah d'accord, je comprends mieux ta condition. Oui mes choix pour et sont un peu étranges de prime abord, c'est surtout pour pouvoir écrire tous les termes de la somme sous la même forme.

Content d'avoir pu aider !