Alignements 2

[Vassillia]

Bonjour à tous,

Je ne sais pas si vous vous souvenez mais on avait essayé (et réussi brillamment) à compter les alignements de points dans une grille enigmes/alignements-t232025.html .

Aujourd'hui, changement de politique, on va essayer de maximiser le nombre d'alignements en disposant les points comme on veut dans le plan.
1) Avec 9 points, quel est le nombre maximum de droites distinctes passant par exactement 3 points que l'on peut créer ?
2) Avec 16 points, même question pour des droites passant par exactement 4 points
3) Avec 25 points, même question pour des droites passant par exactement 5 points
4) Avec points, même question pour des droites passant par exactement points

Je ne sais pas répondre à la question 4) et à ma connaissance, avec n points, le nombre maximum de droites distinctes passant par exactement k points est un problème non résolu autrement dit, on ne le sortira pas sur ce forum donc n'hésitez pas à proposer vos jolis dessins même si vous n'avez pas le maximum.

[phyelec]

Bonjour Vassillia,

Pour le 1) je trouve 10.

Est-ce OK?

[Vassillia]

Bonjour phyelec,

Tu as tout à fait raison, bravo
Est-ce qu'on peut te demander d'exhiber cette jolie configuration de 9 points ?

[GaBuZoMeu]

Bon Lundi,

On peut trouver dans le plan une configuration de 9 points avec 12 droites contenant chacune 3 de ces points (mais c'est dans le plan complexe)

[Vassillia]

Bonjour GaBuZoMeu,

Euh tu es sur ?
Je présume que tu as reconnu le problème du verger https://en.wikipedia.org/wiki/Orchard-planting_problem
Autant je veux bien croire phyelec sur parole car je sais comment dessiner une configuration à 10 droites, autant je ne vois pas trop comment tu te débrouilles pour 12 droites ? Toi, tu ne pourras pas échapper au petit dessin pour prouver tes propos

[GaBuZoMeu]

J'ai écrit une précision à l'encre sympathique (après l'emoji).

[Vassillia]

Ah d'accord, tu m'as arnaquée pour avoir le droit à un point supplémentaire, c'est bien joué !

[GaBuZoMeu]

Un point supplémentaire ?

Sinon, on peut voir les neuf points et les 10 droites :

[Vassillia]

Un point supplémentaire ?

Oui puisqu'avec 10 points, on peut effectivement faire 12 droites distinctes avec exactement 3 points.

J'aime beaucoup ta version, si on prend le dessin de wikipedia, c'est le même sauf que tu as envoyé la ligne verticale en l'infini. Tu n'as pas pu t’empêcher de mettre de la géométrie projective, à mon avis, tu aimes bien ça, mais j'admets volontiers que c'est pour la bonne cause, l'exercice s'y prête bien.
Je me demande même si ce n'est pas plus facile de trouver une configuration max, par curiosité, je regarderai volontiers ce que cela donne pour les questions suivantes

[GaBuZoMeu]

Oui puisqu'avec 10 points, on peut effectivement faire 12 droites distinctes avec exactement 3 points.

Mais je n'ai pas 10 points. J'ai 9 (neuf) points dans le plan complexe , et douze droites distinctes avec sur chacune trois des neuf points.
C'est un vieux truc classique : une cubique lisse (une courbe elliptique) a neuf points d'inflexion, et toute droite passant par deux de ces points d'inflexion recoupe la cubique en un troisième point d'inflexion.
La vacherie, c'est que même pour une cubique réelle, on ne peut voir que trois de ces points d'inflexion dans le réel.

[Vassillia]

Ah je croyais que tu avais juste joué sur les mots en t'autorisant à prendre le centre du repère comme point supplémentaire.
D'accord, enfin disons que ton vieux truc classique était inconnu au bataillon pour moi donc j'étais pas là de comprendre mais cette fois, ça y est. Si ce n'est pas indiscret GaBuZoMeu, ton terrain de jeu, ce ne serait pas la géométrie algébrique par hasard ?
Une intuition parce que quand même, tes réponses ne sont pas vraiment ordinaires.

[GaBuZoMeu]

Si ce n'est pas indiscret GaBuZoMeu, ton terrain de jeu, ce ne serait pas la géométrie algébrique par hasard ?

Ouais, je suis au bord du terrain.

[phyelec]

Je veux bien mettre mon dessin, mais je n'ai pas compris comment faire?, j'ai essayé via Img sans résultat.

[phyelec]

Voici mon dessin ( j'ai fini par comprendre comment faire en lisant la FAQ):

[Vassillia]

Merci phyelec, c'est parfait, comme ça on a aussi la version sans droite à l'infini. Bon, ben il n'y a plus qu'à faire la même chose pour 16 ou 25 points

[GaBuZoMeu]

On voit clairement dans le dessin de phyelec la configuration de Pappus, avec un alignement supplémentaire.
Configuration dynamique :
https://www.geogebra.org/m/cb5b3vag

[phyelec]

Je ne connais pas la configuration de Pappus, et non plus geogebra . Je fait sur papier puis je transcris sur excel. Pour geogebra, je vais regarder.

Pour la configuration 16, pour l'instant j'en suis à 10. Je cherche pour plus.

Cordialement

[GaBuZoMeu]

Je te conseille de te mettre à GeoGebra. C'est facile à prendre en main, et on peut faire plein de choses avec.
Pour le théorème de Pappus : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Pappus

[lyceen95]

Quand je vois ces animations géogébra, je redeviens un enfant... je peux passer 10 minutes à déplacer les points. C'est vraiment un bel outil, quand on sait s'en servir.

[phyelec]

Merci GaBuZoMeu.