Algèbre et géométrie

[Vassillia]

Bonjour à tous,

Le but est trouver les solutions du système de 2020 équations défini par :
pour
avec pour

Toutes les méthodes de résolutions sont les bienvenues et comme d'habitude, n’hésitez pas à présenter des variantes

[Vassillia]

Petit up si certains s’intéressent à l'exercice
On peut remarquer que certaines inconnues jouent un rôle symétrique et utiliser
Il y a au moins une méthode de résolution plutôt calculatoire et une autre plutôt géométrique (cette dernière vaut la peine je trouve)

Edit pour reprendre les notations de Doraki

[GaBuZoMeu]

Bonjour Vassilia,

On remarque que le premier est égal au dernier, le deuxième à l'avant dernier, le troisième à l'antépénultième etc..

[azf]

... à l'antépénultième

Je ne connaissais pas du tout ce mot qui signifie "avant-avant dernier"

Merci

[Vassillia]

Bonjour GaBuZoMeu

Eh oui, tout à fait exact !

Si tu veux faire travailler ton esclave numérique préféré, je te propose de t'intéresser à pour en déduire une formule de récurrence.

Si tu veux faire un joli dessin, tu peux imaginer un triangle isocèle de base et de cotés 1. On peut décomposer N en segments de longueurs ce qui permet de leur associer des triangles. Cette idée n'est évidemment pas de moi mais cela ne m’empêche pas de la partager.

Après si tu as une autre idée, fais toi plaisir surtout que je ne connais pas forcément. Pas bien sure que mes explications soient claires du coup si tu veux juste une solution, j'en proposerai une

[mathelot]

... à l'antépénultième

Je ne connaissais pas du tout ce mot qui signifie "avant-avant dernier"

Merci

c'est utilisé en grec (ancien ?) , l'accent tonique sur les mots (les verbes ?) se place sur l'antépénultième syllabe

https://www.cnrtl.fr/definition/Ant%C3% ... ti%C3%A8me

[Doraki]

soit et pour k=0...n

alors y0 = 0, et pour tout k = 1 ... n, l'équation numéro k nous dit que
(x1+...+xk)(xk+...+xn) = 1, c'est à dire

donc si par magie on connaît s, on en déduit tous les yk :
y0 = 0, y1 = 1/s, y2 = 1/(s-1/s) = s/(s²-1) etc jusqu'à yn.
si y1,y2,y3... sont positifs et yn = s alors on a gagné.
on regarde donc l'application , qui est un automorphisme de P1(C)
on a les équivalences





est un automorphisme de P1(C) et normalement ils ont 2 points fixes.
Si un automorphisme a 3 points fixes alors c'est l'identité.
Comme a déjà les 2 points fixes de , avoir 0 en plus le force à être l'identité :

donc on souhaite juste avoir un s qui fait en sorte que appliqué (n+2) fois, soit l'identité.
Pour étudier les itérés de on regarde ce qu'ils font autour des deux points fixes, donc on va regarder leur dérivée en ces points fixes.

Les deux points fixes de sont solutions de 1 - zs + z² = 0, soit si on veut être précis.

Si s >= 2 alors ils sont réels et donc on a aucune chance d'atteindre s puisque entre 0 et s/2 il y a un point fixe et donc un mur.
Il faut donc regarder le cas 0 < s < 2, où on obtient deux points fixes complexes conjugués .
, donc ils sont sur le cercle unité,
et

Maintenant on regarde la dérivée. ,
et donc
et donc,






(en vrai on veut s > 0)

il y a enfin un truc tout à fait magique qui dit que si alors l'angle en z du triangle x y z vaut .
(pour le montrer il faut plutôt parler des cercles passant par x z z', regarder l'angle des tangentes en z, et utiliser le théorème de l'angle au centre enfin ça devient un chouïa compliqué)
donc on trace la droite (0 z), on la tourne de pi/(n+2) autour de z, elle intersecte l'axe des réels en
fs(0) = y1 = x1,
on la tourne encore de pi/(n+2), elle intersecte l'axe des réels en fs(y1) = y2 = x1+x2,
etc etc
et au bout de (n+2) coups on aura tourné la droite de pi, donc on sera revenu à la droite initiale.

donc on a en effet un beau dessin avec un point z, un bouquet de (n+2) droites dont une horizontale et (n+1) autres qui intersectent une autre droite horizontale en-dessous de z, elles la découpent donc en n segments finis, et les xi sont la longueur de ces segments.
Et les deux segments de droites tout à gauche et tout à droite sont de longueur 1.

A tous les coups y'a un truc du genre thalès ou puissance d'un point par rapport à un cercle qui explique pourquoi le système est résolu en 5 secondes une fois qu'on a le dessin.

[Vassillia]

Bonjour Doraki,

Tu as tout expliqué, c'est parfait, merci de ta participation !

Je laisse éventuellement le temps à quelqu'un de faire la représentation géométrique pour en déduire plus facilement une formule qui donne directement les sinon je le ferai.
C'est assez sympa car du coup la résolution peut se faire avec moins de connaissances.

[azf]

Vu l'explication de Doraki (avec ces calculs de puissance d'un point par rapport à un cercle entre autre... )
Je n'imaginais pas que ce sujet soit aussi "géométrique"

[azf]

Vraiment merci Vassillia pour ce sujet qui m'intéresse énormément (Sans Doraki et ce qu'il a dit eh bien je serai passé à côté mais voilà il a employé les mots magiques qui font que je sois attentif)

En ce moment j'ai beaucoup de travail à faire en géométrie (sans compter mon retard), je ne vais donc pas pouvoir faire quoi que ce soit ici mais bon merci à tous

Il a employé les mots magique , il a bien présenté "la marchandise" Doraki

[Vassillia]

Comme promis, la version géométrique avec un triangle isocèle de base s et de cotés 1 (j'ai représenté n=6 pour la lisibilité)
peut se voir comme = puisque
Cela implique que les triangles et sont semblables donc l'égalité entre les angles
pour k=1 donc et
pour k=2 donc
...
Dans le triangle , avec la somme des angles on trouve donc comme l'avait dit Doraki

Maintenant, on utilise la loi des sinus pour calculer les



...
Par récurrence, on montre

J’espère que cela vous plaira

[azf]

J’espère que cela vous plaira

Encore merci Vassillia pour ce sujet passionnant
J'ai tellement de boulot à faire en géométrie que je ne peux actuellement pas m'y consacrer
Mais une chose est sûre : ton sujet est génial et je ne compte pas le laisser de côté
Les heures passent, les mois passent, les années passent mais la géométrie ne mourra jamais et nous non plus d'ailleurs car ce sont toujours les autres qui meurent : Nous n'assistons jamais à nos propres funérailles
Quand ce sera le moment j'y reviendrais
ça ne sera pas avant un mois mais certainement avant dix ans