Aide Concours général 99

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
LjjMaths
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Aide Concours général 99

par LjjMaths » 26 Déc 2016, 02:50

Bonsoir à tous !
Je sollicite votre aide parce que je sèche complètement Sur Ce probleme du concours général de maths 1999
"POUR quels triangles aux angles Tous aigus le quotient du plus petit côté par le rayon du cercle inscrit est il maximum"
Merci D avance !



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Lostounet
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Re: Aide Concours général 99

par Lostounet » 26 Déc 2016, 03:06

LjjMaths a écrit:Bonsoir à tous !
Je sollicite votre aide parce que je sèche complètement Sur Ce probleme du concours général de maths 1999
"POUR quels triangles aux angles Tous aigus le quotient du plus petit côté par le rayon du cercle inscrit est il maximum"
Merci D avance !


Salut,

Peut-être une idée:

En notant a, b, c les cotés du triangle avec a le plus petit, sachant que le rayon r du cercle inscrit est donné par:
Avec p le demi-périmètre, nous devons maximiser la quantité:


Puis ensuite appliquer la formule de Héron... mais on n'aura pas encore utilisé les angles aigus donc ...

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LjjMaths
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Re: Aide Concours général 99

par LjjMaths » 26 Déc 2016, 03:52

Lostounet a écrit:
LjjMaths a écrit:Bonsoir à tous !
Je sollicite votre aide parce que je sèche complètement Sur Ce probleme du concours général de maths 1999
"POUR quels triangles aux angles Tous aigus le quotient du plus petit côté par le rayon du cercle inscrit est il maximum"
Merci D avance !


Salut,

Peut-être une idée:

En notant a, b, c les cotés du triangle avec a le plus petit, sachant que le rayon r du cercle inscrit est donné par:
Avec p le demi-périmètre, nous devons maximiser la quantité:


Puis ensuite appliquer la formule de Héron... mais on n'aura pas encore utilisé les angles aigus donc ...




Merci pour votre réponse rapide,

voila Ou j'en suis : notons a, b, c les côtes D un triangles tq a<=b<=c et R le rayon du cercle inscrit

a/R est croissant de a et décroissant De R

Donc il faudrait trouver un compromis entre un "grand " A et un "petit" R

J'ai montré sans probleme Que pour, C fixé, A est maximum Quand Le triangle est équilatéral et c'est a peu près Tout (du coup je suis pas arrive très loin et C'est Pas rigoureux)

En tout cas cette formule De Héron me semble être un bonne piste ;-)

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Lostounet
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Re: Aide Concours général 99

par Lostounet » 26 Déc 2016, 03:57

LjjMaths a écrit:a/R est croissant de a et décroissant De R

Donc il faudrait trouver un compromis entre un "grand " A et un "petit" R


Hello,
Le problème c'est que les contraintes ne sont pas si simples à traduire. Comment sais-tu que a/r est croissant en a et décroissant lorsque r augmente?
Le rayon r dépend de a, de b et de c... donc si tu augmentes a cela va influencer r (comment?), et vice versa.

Effectivement il est possible de montrer que sous la contrainte de p fixé, on peut maximiser l'aire..

Il faudrait traduire le fait que les trois angles sont aigus en terme de cotés (par des inégalités? par exemple avec du cosinus des angles obtus ou le fait que les hauteurs sont intérieures) pour espérer continuer dans cette direction...Sinon il faudra abandonner cette piste.
Voyons ce qu'en dit Ben.
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Re: Aide Concours général 99

par Ben314 » 26 Déc 2016, 05:29

Si on note A', B' et C' les projetés respectifs du centre O du cercle inscrit sur [BC], [CA] et [AB] puis et alors on a :
(1) .
(2) Les angles en A,B,C sont aigus ssi
(3) est le plus petit des 3 coté ssi est le plus grand des 3 angles.
(4)
Et il faut donc maximiser cette quantité sous la contrainte ce qui ne pose pas de grande difficultés.
(ça donne sans grande surprise )
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LjjMaths
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Re: Aide Concours général 99

par LjjMaths » 26 Déc 2016, 20:25

Mzrxi bcp POUR votre réponse très claire ! Je n avais Pas pensé à travailler avec les projetés orthogonaux :)

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Ben314
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Re: Aide Concours général 99

par Ben314 » 27 Déc 2016, 02:48

Sinon, en réfléchissant un peu plus, en fait tu est pas obligé d'utiliser les angles en O.
Tu peut parfaitement prendre à la place les demi-angles en A,B et C.
Le seul truc que ça change, c'est que les tangentes deviennent des cotangente, mais d'un autre coté, on y gagne en "lisibilité" en ce qui concerne les contraintes sur les angles.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

 

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