Affectation des restes d'une division

[Oli1]

Bonjour,

J'ai une question qui me tourmente un peu et qui concerne l'affectation des restes d'une division.

Imaginons que j'ai une valeur, par exemple 17,82, qui est un nombre décimal pour lequel je souhaite trouver deux diviseurs décimaux.

Je sais que les deux diviseurs de 17,82 que je veux utiliser commencent par les nombres entiers 5 et 3.

Comme 5*3=15, il y a donc un reste de 2,82 à affecter entre 5 et 3.

Existe-t-il une solution de calcul pour obtenir les deux diviseurs décimaux exacts tels que 5,4 * 3,3 = 17,82 ?

Vous remarquez ici que le reste à affecter dépasse les valeurs décimales à rattacher aux deux nombres entiers 5 et 3.... Cela me trouble.

Du coup, sachant que le reste à affecter nous donne une indication fausse, comment fait-on pour trouver les bonnes valeurs décimales de ces entiers quand on ne les connaît pas ?

[Sa Majesté]

Tu peux voir 17,82 comme 1782/100, ce qui permet de manipuler des entiers.
Tu fais la décomposition en facteurs premiers de 1782 = 2 x 3^4 x 11.
Ensuite tu ordonnes comme tu souhaites ces facteurs avec leur multiplicité.
Par exemple 2 x 3^3 = 54 et 3 x 11 = 33.
Et tu divises chacun des 2 facteurs obtenus par 10.
17,82 = 5,4 x 3,3

[Oli1]

Merci Sa Majesté, toutefois j'ai l'impression que cette solution ne marche pas pour tous les nombres et qu'elle n'a de valeur que pour les tous petits nombres.
Par exemple j'ai essayé pour ce nombre :
18,1950657445013
Et ses deux facteur :
5,42004258683793
3,35699682299293
et j'ai fait exactement comme vous le dites en supprimant la virgule :
181950657445013
542004258683793
335699682299293
Mais en faisant l'analyse des multiples diviseurs de 181950657445013 je n'ai jamais retrouvé de quoi recomposer 542004258683793 et 335699682299293. Pourtant je serais le premier content si ça marchait ! Est-ce que je m'y prends mal ?

[hdci]

Le problème c'est que vous n'avez pas bien défini ce qu'était la "division décimale".

Pour n'importe quel nombre décimal d et pour n'importe quels entiers relatifs n et p, vous pouvez toujours écrire



où d' est un nombre décimal. Ce qui fait par exemple, que



Et pourtant 17 est premier.

Cela est dû à la propriété des nombres décimaux car un nombre décimal peut toujours s'écrire de la façon suivante



où m est un entier relatif et n et p sont des entiers naturels

Autrement dit vous pouvez toujours "diviser par deux, diviser par 5" et autant de fois que vous voulez et trouver un autre nombre décimal (et en déduire la factorisation de votre nombre initial en produit de deux nombres décimaux).

[Oli1]

Merci hdci, vos réponses ont toujours beaucoup de valeur.
Cela signifie-t-il qu'avec votre méthode de calcul, je serai en mesure de trouver les facteurs de n'importe quel nombre, y compris le cas du nombre 18,1950657445013 que j'ai cité en exemple ?

[hdci]

Ce ne sont pas "les" facteurs, mais "des" facteurs car finalement il y en a une infinité (contrairement aux entiers).

Ce qu'a décrit Sa Majesté permet de trouver les facteurs par décomposition du nombre entier figurant au numérateur du nombre décimal vu comme un quotient de deux entiers (que ce soit de façon irréductible ou non). Et déjà cela donne une infinité de solutions, pour reprendre l'exemple de 17,82 :

17,82=5,4 x 3,3 = 54 x 0,33 = 0,54 x 33 = 540 x 0,033 etc.

A cela s'ajoute le fait que vous pouvez multiplier ou diviser l'un des deux facteurs par n'importe quelle puissance de 2 et n'importe quelle puissance de 5, et diviser ou multiplier l'autre facteur par la même chose (attention, l'un est multiplié par, l'autre est divisé par).

Remarque : l'exemple que vous donniez avec "des nombres à beaucoup de décimales" est faux :

Par exemple j'ai essayé pour ce nombre :
18,1950657445013
Et ses deux facteur :
5,42004258683793
3,35699682299293

Votre nombre 18 virgule "et quelques" comporte 13 décimales. Les deux facteurs en comportent 14. Ce qui fait que leur produit comportera 28 décimales, la dernière n'étant pas nulle car 3 x 3 = 9. Donc ne peut pas être égal à 18, "et quelques".

Par contre, on a 181 950 657 445 013 = 41 x 4 437 820 913 293

Donc, en divisant chacun des facteurs par 10 jusqu'à avoir divisé au total 13 fois par 10, on obtient, si on veut de plus que les facteurs soient inférieurs au nombre initial :
18,1950657445013 = 4,1 x 4, 437 820 913 293

Et tout en restant en facteurs inférieurs au nombre initial, on peut multiplier le premier par 2 et diviser le second par 2 pour obtenir

18,1950657445013 = 8,2 x 2,218 910 456 646 5

En creusant un peu, on peut voir que 61 est un autre facteur premier de 181 950 657 445 013.
On peut ainsi trouver un produit avec 6,1.
Et comme le nombre est divisible par 41 et par 61, il l'est par 2501 ce qui fait qu'on peut trouver un facteur égal à 2,501 (d'où en multipliant par 5 : 12,505 : ainsi

18,1950657445013 = 12,505 x 1,455 023 250 26

[Oli1]

Bonjour hdci, encore merci pour cette réponse précise, vous faites bien de me corriger quand mes formulations sont imprécises ou erronées.

Personnellement pour parvenir à trouver deux diviseurs décimaux qui fonctionnent avec une autre valeur décimale qui est leur produit, par exemple 18,1950657445013, et sachant que je voudrais que ces deux diviseurs aient un premier nombre entier qui soit respectivement égal à 3 et à 5, je vais peut-être utiliser une méthode plus simple et efficace qui me permettra d'égrener tous les diviseurs possibles pour en choisir deux.

L'idée tout simplement consiste à prendre la racine carrée de 18,1950657445013, donc ici 4,26556745867432, et de lui associer un coefficient K par lequel je vais à la fois diviser et multiplier ce nombre qui jouera le rôle de moyenne géométrique dynamique entre mes deux diviseurs. J'obtiens ainsi des séries de deux diviseurs proportionnels à cette moyenne géométrique valant 4,26556745867432 , et dont le produit sera toujours égal à 18,1950657445013. Par cette méthode simple, j'obtiens par exemple les valeurs 5,42153624 et 3,356071958 ce qui n'est pas mal du tout.

Cette approche (comme toutes les autres) présente toutefois un défaut que vous avez mentionné qui réside dans le nombre infini de possibilités de trouver deux diviseurs proportionnels dont le produit sera égal à 18,1950657445013. Or cela m'embête parce que parmi tous les diviseurs possibles, un seul couple de diviseurs m'intéresse qui permettrait de reconstituer la valeur de facteurs beaucoup plus grands que j'ai réduit volontairement à leurs racines n-ièmes pour les besoins de l'exercice.

Cette division de nombres décimaux pourrait peut-être trouver une solution originale dans la construction du triangle rectangle. J'ai trouvé ce matin un site anglais assez remarquable permettant de construire des triangles rectangles d'une manière très précise en indiquant seulement deux propriétés : Soit les côtés, soit la hauteur, soit les degrés, soit l'aire, soit le périmètre, soit la circonférence du cercle inscrit, soit le rayon....

https://www.triangle-calculator.com/?wh ... bmit=Solve

Je ne savais pas qu'il était possible d'obtenir toutes les mesures d'un triangle rectangle en indiquant seulement deux propriétés. Bien évidemment je suis assez curieux de relier la hauteur à l'aire car ces deux mesures sont très liées et je pense qu'elles sont les plus faciles à calculer quand on ne dispose pas d'information sur la mesure des côtés. L'avantage de la construction du triangle rectangle réside également dans sa faculté assez naturelle à factoriser les nombres décimaux qui lui servent de mesure pour ses cotés.

[hdci]

Attention toutefois :

L'idée tout simplement consiste à prendre la racine carrée de 18,1950657445013, donc ici 4,26556745867432,

La racine carrée d'un nombre est rarement un décimal (même lorsque le nombre multiplié par une puissance de 10 devient entier : par exemple racine carrée de 16=4, mais racine carrée de 1,6 n'est pas un nombre décimal ni même rationnel ; par contre racine carrée de 0,16 est décimal c'est 0,4 : cela tient au fait que la racine carrée de 10 n'est pas rationnelle, mais celle de 100, c'est bien 10).

Et comme indiqué dans un autre message plus haut, il est assez clair que votre 4 virgule (...) n'est pas la racine carré du 18 virgule (xxx), simplement en regardant la dernière décimale (valeur et rang). Ce n'est donc qu'une valeur approchée, et si vous ne cherchez que des factorisations "en valeurs approchées", n'improte quelle méthode est bonne à prendre : on pourra toujours trouver que 18,(xx) est égal "environ" à alpha multiplié par bêta, il suffit que je "fixe arbitrairement alpha" puis que je calcule bêta approximativement en faisant la division (standard) et en m'arrêtant au nombre de décimales souhaitées.
Ce qui fait perdre beaucoup de sens à votre question initiale, en fait.

[Oli1]

La racine carrée de 18,1950657445013 est bien 4.26556745867 je suis désolé.... source google calculator.

Après tout dépend de savoir combien vous allez utiliser de nombres après la virgule pour travailler.

Les nombres à factoriser peuvent se décomposer en racines n-ièmes autant que l'on veut, ce qui permet de les réduire et autant que j'ai pu l'observer, ces racines n-ièmes ne génèrent que des nombres décimaux.

Après je ne comprends pas bien cette distinction que vous faites avec les nombres rationnels. J'imagine que vous faites mentions des nombres irrationnels pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction de deux entiers.

1,6 à priori est un nombre décimal qui logiquement a une valeur en racine carrée qui est elle aussi décimale : 1.26491106407. Donc pourquoi affirmer que sa racine n'est pas décimale ?

Les diviseurs que je vous ai indiqué avoir trouvé par la méthode proportionnelle sont bien des valeurs approchées. Mais je ne suis pas très sûr de la précision avec le traitement décimal par le calcul. D'où mon idée d'aller chercher du côté des triangles rectangles dont les côtés sont décimaux et précis.

[hdci]

Non c'est une valeur arrondie.

Votre nombre

4.26556745867

possède 11 décimales.
Donc en l'élevant au carré, le résultat aura 22 décimales.
Or

18,1950657445013

n'a que 13 décimales.

Il ne faut pas croire les calculatrices. Elles ne conservent pas en mémoire "une infinité de décimales" et par suite ne savent faire que des calculs approchés.

Une preuve sous Excel : écrivez en cellule A1 la formule "=10/11", puis écrivez en A2 la formule "=A1*100-90". Tirez cette formule vers le bas. Vous verrez apparaître vers la 15ème ligne une valeur égale à "plus ou moins" quelques milliards (plus ou moins, car cela dépend de l'arrondi fait par la machine).
Or si vous faites le calcul rigoureusement, vous vous rendrez compte que toutes les cellules devraient contenir la valeur 10/11 (c'est-à-dire, en décimales : 0,90909090...). Mais comme il y a une infinité de décimales, la multiplication par 100 provoque une "micro erreur" qui, répétée 15 fois, se transforme en "méga erreur".

(Le truc amusant c'est que c'est pareil avec les calculatrices "du lycée" et que selon que l'on ait une casio ou une TI, on a soit des milliards négatifs soit des milliards positifs... )

En ce qui concerne les nombres rationnels ou irrationnels : un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction d'entiers (par exemple 1/2, ou 1/3). Un nombre décimal est un cas particulier d'un nobre rationnel, en ce sens qu'à partir d'un certain rang toutes ses décimales sont nulles (d'où le fait que le dénominateur, en fraction irréductible, est un produit de puissances de 2 et de 5, puisqu'on est en base 10 et que 2x5=10). Tous les autres nombres rationnels ont une infinité de décimales non nulles (par exemple 1/3=0,3333.....), mais il y a toujours un "motif" qui se répète (dans le cas de 1/3, ce motif comprote un chiffre est c'est 3 ; mais pour 1/7, le motif est "142857", il comporte 6 chiffres et 1/7=0,142857142857...

Les nombres irrationnels sont tous les autres nombres (et ils sont infiniment plus nombreux que les rationnels). Ce sont ceux qui ont une infinité de décimales, mais sans aucun motif qui se répète indéfiniment, et ces nombres ne peuvent pas s'exprimer sous forme de fraction. Les deux "plus connus" sont pi et racine carrée de 2. On écrit souvent pi=3,1416 ou 3,14159, mais c'est un arrondi.

Donc pour la racine carrée de 1,6 : la valeur qu'une calculatrice vous donne n'est q'une approximation, car le nombre de décimales est infini. Donc ce n'est pas un nombre décimal.

Pour en revenir à votre problème initial : si l'objectif était de trouver des "diviseurs décimaux exacts", les techniques qu'on vous a montré plus haut sont les bonnes.
Si par contre ce sont des "diviseurs décimaux approchés", appliqués sur des "nombres pas forcément décimaux et de toute façon arrondis", alors n'importe quelle méthode convient ou plus exactement il n'y a pas de vraie méthode.

[Oli1]

D'accord je comprends ce que vous expliquez sur ces erreurs de calcul microscopiques qui peuvent au final produire des erreurs monumentales.

Pour ce qui concerne la question initiale, je vous confirme que mon objectif est de "trouver les diviseurs décimaux exacts".... à condition que ces diviseurs soient égaux à ceux des facteurs réduits à une racine énième. Et dans cette optique, il n'y a que deux solutions possibles, pas plus.

Dans l'explication que vous avez donné plus haut, j'ai eu l'impression qu'on était confrontés encore à des possibilités infinies et que par conséquent utiliser votre méthode ou une méthode d'approximation aboutirait à un même résultat qui ne sera jamais l'obtention des deux facteurs à l'exacte mais quelque chose d'approchant. Donc en divisant par deux et par cinq des nombres sans virgules, et en ne disposant que de l'information sur le premier nombre entier, par exemple 3 et 5, vous me confirmez que je vais pouvoir produire deux facteurs qui ressembleront à 5,42004258683793 et 3,35699682299293 dont le produit sera égal à 18,1950657445013 ? Je vous pose cette question sur l'exactitude des facteurs car ce n'est pas seulement le produit qu'il s'agit de retrouver mais surtout l'écart le plus exact possible entre les deux facteurs, c'est même la donnée qui est la plus importante à mes yeux.

[hdci]

En considérant que 18,1950657445013 est le nombre décimal exact.
Alors



Vous pouvez "modifier" votre 5 en multipliant ou en divisant par des puissances de 2, mais dès que vous ferez autre-chose, si vous ne multipliez pas votre 5 pas un diviseur du nombre sans virgule 181 950 657 445 013 (ajusté d'une division ou multiplication par des puissances de 2 ou de 5) vous n'obtiendrez pas un résultat exact.

Par exemple, 181 950 657 445 013 n'est pas divisible par 3. Donc si vous multipliez le facteur 5 par 3 (ou par 1,5, ou par 0,3, ou par 30...) vous serez obligé de diviser l'autre facteur (3,63...) par un entier qui n'est pas diviseur du "nombre sans virgule 36390..." et le résultat sera un nombre non rationnel mais non décimal.

Par contre, 41 est un diviseur de 181 950 657 445 013, donc vous pouvez multipliez votre 5 par 41, ou par 0,41, ou par 0,82 pour obtenir 4,1 par avec 0,82, et alors l'autre facteur sera 4,437820913293 (en espérant ici que ma calculatrice m'ait bien donné toutes les décimales, s'il y a "plus de décimales" que l'affichage ne le permet je ne le verrai pas)

Si vous trouvez d'autres facteurs (il y a 61 par exemple, mais il n'y en a pas d'autre jusqu'à 61 et le nombre étant grand sa décomposition en facteurs premier peut être longue "à la main").

MAis encore une fois, il n'y aura pas de "solution optimale" dans l'absolu. Si vous cherchez un produit de deux nombres dont l'un est proche de 5 et l'autre proche de 3, et bien 5 pour le premier fait l'affaire et le second est donné ci-dessus.

[Oli1]

Donc pour récapituler ce que vous avez dit et m'assurer avoir bien compris, j'ai un nombre qui est au départ un nombre avec de nombreuses décimales; 18,1950657445 013. J'enlève sa virgule ce qui me donne 181 950 657 445 013, puis j'identifie tous ses facteurs premiers ce qui me donne la liste suivante : 41 ; 61 ; 3499 ; 20791987. Ce que vous me dites c'est que je peux manipuler ce nombre autant que je veux sans perdre l'exactitude dès lors que je le divise par des puissances de 5 ou de 2, ou ses facteurs premiers dont je dois respecter la forme. Ici il est évident que la solution la plus simple sera d'utiliser 41 et 61 que je peux décliner en 0,41, ou 0,82, ou 0,0061, ou 0122.... etc le choix de composition ne dépendant que des deux facteurs que je veux produire aux alentours de 5 et de 3.... Mais en procédant ainsi je ne suis pas plus certain de trouver le bon facteur qu'en utilisant une méthode d'exploration approximative telle que le coefficient de proportionnalité. En fait hormis l'étiquette de rester avec des "nombres rationnels" et "décimaux", quel sera l'avantage que l'on peut retirer d'une telle méthode puisqu'elle ne restituera pas les facteurs recherchés à l'exacte ? En fait c'est ça la question que je me pose : sachant que 18,1950657445 013 est la racine énième d'un nombre à factoriser (109601 ici en l'occurrence), existe-t-il une possibilité plus grande de retrouver les deux facteurs à la racine énième (ici 5,42004258683793 et 3,35699682299293) en ayant recours à cette méthode de comptage exacte plutôt qu'à une méthode d'évaluation par approximation ?

[GaBuZoMeu]

Bonjour Oli1,

Franchement, tu poursuis une chimère et les vagues idées que tu essaies de mettre en oeuvre ne donneront jamais une méthode de factorisation d'un entier produit de deux grands nombres premiers. Je crois deviner que c'est ça que tu cherches, n'est-ce pas ?

[hdci]

sachant que 18,1950657445 013 est la racine énième d'un nombre à factoriser (109601 ici en l'occurrence)

De toute façon ici il y a une erreur : la racine n-ème d'un entier est soit un entier soit un nombre irrationnel (donc certainement pas décimal).

Donc 18,1950657445 013 n'est qu'une valeur approchée de la racine 4-ème de 109601.
Il suffit d'ailleurs d'élever ce nombre à la puissance 4 pour trouver environ 109 600,999999999584676, là aussi une valeur approchée puisque comme 18,etc possède 13 décimales, son exponentiation par 4 en contiendra 52.

(Précision que vous semblez ignorer ; quand on multiplie des nombres à virgules, on multiplie les "valeurs entières" puis on décale la virgule vers la gauche autant de fois qu'il y a de décimales dans chacun des opérandes. Or aucun chiffre autre que 0 (donc de 1 à 9) ne donne, élevé à une puissance entière quelconque, un résultat qui est multiple de 10, donc "le dernier chiffre" n'est jamais nul et si un nombre possède k décimales dont la k-ème non nulle, et qu'on l'élève à la puissance n, le résultat aura kn décimales dont la kn-ème sera non nulle)

Par conséquent chercher "une factorisation décimale" d'un nombre qui n'est qu'une approximation décimale ne permettra pas de trouver une factorisation de l'entier initial puisqu'en élevant ces facteurs à la puissance n on ne trouvera de toute façon pas des entiers.

[Oli1]

Ok donc ce que je commence à comprendre en lisant vos messages précédents c'est que la plupart des calculatrices font soit des erreurs soit ne donnent que des résultats en valeur approchée puisque le nombre que je vous ai communiqué a bien été calculé avec l'une de ces calculatrices.

Si tel est le cas effectivement c'est embêtant. Enfin pas tant que ça au final car je ne sais toujours pas en vous lisant s'il existe une réelle supériorité de la méthode exacte par rapport à la méthode approximative pour remonter vers ces facteurs que l'on recherche quand on est sur l'une de leurs racines énièmes.

En effet, obtenir 109 600,999999999584676 ou 109 601 ça ne change pas grand chose au final, car l'écart est tellement infinitésimal que dans les deux cas cela permet d'objectiver le rôle du facteur qui est à l'origine.
Par contre je vous confirme que j'apprends beaucoup de nos échanges et cela est soi est utile.