On note k l'entier a/b+b/c+c/a
Soit d le PGCD de a,b,c. On pose a=da', b=db' et c=dc'.
a'/b'+b'/c'+c'/a' est aussi égal à k et si on montre que a'b'c' est le cube d'un entier x, on aura
.
En résumé, on peut supposer a, b, c, premiers entre eux (dans leur ensemble).
On a alors a²c+b²a+c²b=kabc. (1)
Soit p un diviseur premier de abc. On peut supposer par exemple que p|a. On pose
avec a' étranger à p.
D'après (1) , p|b²c, donc p divise b ou c (mais pas les deux).
Premier cas : p|bOn pose
avec b' étranger à p.
On reporte dans l'égalité (1) :
. (2)
On voit que
divise le second membre et les deux premiers termes du premier membre, donc il divise aussi
, c'est à dire que
. On peut simplifier (2) par
:
.
A nouveau, on a trois termes sur 4 multiples de
donc le quatrième l'est aussi. On simplifie :
.
Le premier terme n'est pas multiple de p et donc au moins un des trois autres termes non plus : ce ne peut être que
(celui de valuation p-adique minimale). D'où 2r=s.
Ainsi la valuation p-adique de abc est 3r.
Deuxième cas : p|c. se fait de manière analogue.
On a donc prouvé que tout diviseur premier de abc est de valuation multiple de 3 dans abc. Cela prouve bien que abc est un cube.