toujours dans la série initiation à la logique avec l'idée de sortir des sentiers battus afin d'interesser le sujet
là cette fois on propose un algèbre de Boole définit sur un ensemble fini à
on appellera ça une algèbre de Boole d'ordre u avec
Sommaire
1)Généralités
2)algèbre de Boole d'ordre 3
3)algèbre de Boole d'ordre 4
4)algebre de Boole d'ordre
1)Généralités
l'ensemble est munis des deux lois : la premiere la loi + et . la seconde loi
ces lois sont définis par quatre axiomes qui definissent leurs proprietes :
-commutatives x+y=y+x et x.y=y.x
-associatives (x+y)+z=x+(y+z) et (x.y).z=x.(y.z)
-forment une distribution (x+y).z=xz+yz et (x.y)+z=(x+z).(y+z)
-forment une potence definie par les propriétés suivantes
les deux lois possèdent chacune un élément neutre
0 est le neutre de la loi +
1 est le neutre de la loi .
x+0=x et x.1=x
et les lois forment une potence selon x+1=1 et X.0=0
munis de ces quatre axiomes on en deduit des théorêmes comme par exemple entre autre
l'existence d'une bijection dans E definie par
et d'autres théorêmes par exemple (liste non exhaustive)
et le plus important :
si E est un ensemble fini dans lequel on construit un algebre de Boole alors il existe un entier naturel non nul u tel que
par ailleurs et enfin avant d'aborder l'algebre de Boole d'ordre u
on peut traduire n'importe quelle loi de composition interne definie sur un ensemble à deux elements
{0,1} avec rien qu'un algebre de boole definit sur cet ensemble ainsi
pour la loi * associative & commutative qui donne
0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=0
on l'obtiens par :
pour la loi * commutative qui donne
0*0=1
0*1=0
1*0=0
1*1=0
on l'obtiens par :
pour la loi * qui donne
0*0=0
0*1=1
1*0=0
1*1=0
on l'obtiens par :
pour la loi * qui donne
0*0=1
0*1=1
1*0=0
1*1=0
on l'obtiens par :
pour la loi * qui donne
0*0=0
0*1=0
1*0=1
1*1=0
on l'obtiens par :
pour la loi * qui donne
0*0=1
0*1=0
1*0=1
1*1=0
on l'obtiens par :
pour la loi * associative & commutative qui donne
0*0=0
0*1=1
1*0=1
1*1=0
on l'obtiens par :
pour la loi * commutative qui donne
0*0=1
0*1=1
1*0=1
1*1=0
on l'obtiens par :
pour la loi * associative & commutative qui donne
0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=1
on l'obtiens par :
pour la loi * associative & commutative qui donne
0*0=1
0*1=0
1*0=0
1*1=1
on l'obtiens par :
pour la loi * associative qui donne
0*0=0
0*1=1
1*0=0
1*1=1
on l'obtiens par :
pour la loi * qui donne
0*0=1
0*1=1
1*0=0
1*1=1
on l'obtiens par :
pour la loi * associative qui donne
0*0=0
0*1=0
1*0=1
1*1=1
on l'obtiens par :
pour la loi * qui donne
0*0=1
0*1=0
1*0=1
1*1=1
on l'obtiens par :
pour la loi * associative & commutative qui donne
0*0=0
0*1=1
1*0=1
1*1=1
on l'obtiens par :
pour la loi * associative & commutative qui donne
0*0=1
0*1=1
1*0=1
1*1=1
on l'obtiens par :
Bref ...on en reviens à cet algebre là:
dans ce qui suit et afin de differentier
algebre de Boole
Soit un algebre de Boole définit sur un ensemble fini
donc
propriétés générales pour tout u
de plus on considère la bijection
2)algebre de Boole d'ordre 3
en plus des propriétés générales
(donc on peut en déduire par exemple
on fixe pour cet ordre là uniquement
3)algebre de Boole d'ordre 4
en plus des propriétés générales
on fixe pour cet ordre là uniquement
4)algebre de Boole d'ordre
là on arrive à généraliser pour tout u supérieur ou égal à 5
cependant c'est long à écrire je le ferai plus tard
