pour tout point
on note
de plus le produit scalaire usuel est noté
___________________________________
trouver deux applications linéaires
et trouver une application non linéaire
qui permette de vérifier les deux égalités suivantes
Formules pratiques en CBN
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formules pratiques en CBN
par azertytreza » 19 Juin 2019, 08:13
Un petit "défi" que je propose ceci mais sans le placer dans la rubrique défi
est une base affine du plan
pour tout point
du plan
on note\)
ses coordonnées barycentriques normalisées par rapport à 
de plus le produit scalaire usuel est noté
___________________________________
trouver deux applications linéaires\rightarrow \mathbb {R})
et \rightarrow \mathbb {R})
et trouver une application non linéaire\rightarrow \mathbb {R})
qui permette de vérifier les deux égalités suivantes
\ h_{\alpha }\left(\begin {pmatrix}i_P&i_Q\\j_P&j_Q \end {pmatrix}\right)\ +\ \left(j_U\ +\ j_P\ -\ j_T\right)\ h_{\beta }\left(\begin {pmatrix}i_P&i_Q\\j_P&j_Q \end {pmatrix}\right)\ +\ h_{\gamma }\left(\begin {pmatrix}i_P&i_Q\\j_P&j_Q \end {pmatrix}\right))
\ +\ j_Q\ h_{\beta }\left(\begin {pmatrix}i_P&i_Q\\j_P&j_Q \end {pmatrix}\right)\ +\ h_{\gamma }\left(\begin {pmatrix}i_P&i_Q\\j_P&j_Q \end {pmatrix}\right))
pour tout point
on note
de plus le produit scalaire usuel est noté
___________________________________
trouver deux applications linéaires
et trouver une application non linéaire
qui permette de vérifier les deux égalités suivantes
Re: formules pratiques en CBN
par azertytreza » 20 Juin 2019, 03:49
Solution
En fait on peut définir neuf applications que l'on peut utiliser pour le produit scalaire et la distance entre deux points du plan
(je trouve qu'elles se mémorisent très bien)
En assimilant \)
à 
alors
\ =\ \begin {pmatrix}j_P & k_P\end {pmatrix}\ \begin {pmatrix} b^2\ +\ c^2\ -\ a^2 &2\ c^2 \\2\ b^2 & b^2\ +\ c^2\ -\ a^2 \end {pmatrix}\ \begin {pmatrix} k_P-k_Q\\j_P-j_Q \end {pmatrix})
\ =\ \begin {pmatrix}-1 & 0\end {pmatrix}\ \begin {pmatrix} b^2\ +\ c^2\ -\ a^2 &2\ c^2 \\2\ b^2 & b^2\ +\ c^2\ -\ a^2 \end {pmatrix}\ \begin {pmatrix} k_P-k_Q\\j_P-j_Q \end {pmatrix})
\ =\ \begin {pmatrix} 0 & -1 \end {pmatrix}\ \begin {pmatrix} b^2\ +\ c^2\ -\ a^2 &2\ c^2 \\2\ b^2 & b^2\ +\ c^2\ -\ a^2 \end {pmatrix}\ \begin {pmatrix} k_P-k_Q\\j_P-j_Q \end {pmatrix})
\ +\ \left(j_U\ +\ j_P\ -\ j_T\right)\ f_{\beta }\left(j_P,k_P,j_Q,k_Q\right))
\ f_{\gamma }\left(j_P,k_P,j_Q,k_Q\right)\)
\ +\ j_Q\ f_{\beta }\left(j_P,k_P,j_Q,k_Q\right)\ +\ k_Q\ f_{\gamma }\left(j_P,k_P,j_Q,k_Q\right)\)
________________
\ =\ \begin {pmatrix}0 & -1 \end {pmatrix}\ \begin {pmatrix} c^2\ +\ a^2\ -\ b^2 &2\ a^2 \\2\ c^2 & c^2\ +\ a^2\ -\ b^2 \end {pmatrix}\ \begin {pmatrix} i_P-i_Q\\ k_P-k_Q \end {pmatrix})
\ =\ \begin {pmatrix}k_P & i_P\end {pmatrix}\ \begin {pmatrix} c^2\ +\ a^2\ -\ b^2 &2\ a^2 \\2\ c^2 & c^2\ +\ a^2\ -\ b^2 \end {pmatrix}\ \begin {pmatrix} i_P-i_Q\\ k_P-k_Q \end {pmatrix})
\ =\ \begin {pmatrix}-1 & 0\end {pmatrix}\ \begin {pmatrix} c^2\ +\ a^2\ -\ b^2 &2\ a^2 \\2\ c^2 & c^2\ +\ a^2\ -\ b^2 \end {pmatrix}\ \begin {pmatrix} i_P-i_Q\\ k_P-k_Q \end {pmatrix})
\ g_{\alpha }\left(k_P,i_P,k_Q,i_Q\right)\ +\ g_{\beta }\left(k_P,i_P,k_Q,i_Q\right))
\ g_{\gamma }\left(k_P,i_P,k_Q,i_Q\right)\)
\ +\ g_{\beta }\left(k_P,i_P,k_Q,i_Q\right)\ +\ k_Q\ g_{\gamma }\left(k_P,i_P,k_Q,i_Q\right)\)
________________
\ =\ \begin {pmatrix}-1 & 0\end {pmatrix}\ \begin {pmatrix} a^2\ +\ b^2\ -\ c^2 &2\ b^2 \\2\ a^2 & a^2\ +\ b^2\ -\ c^2 \end {pmatrix}\ \begin {pmatrix}j_P-j_Q\\ i_P-i_Q \end {pmatrix})
\ =\ \begin {pmatrix}0 & -1\end {pmatrix}\ \begin {pmatrix} a^2\ +\ b^2\ -\ c^2 &2\ b^2 \\2\ a^2 & a^2\ +\ b^2\ -\ c^2 \end {pmatrix}\ \begin {pmatrix} j_P-j_Q\\ i_P-i_Q \end {pmatrix})
\ =\ \begin {pmatrix}i_P &j_P \end {pmatrix}\ \begin {pmatrix}a^2\ +\ b^2\ -\ c^2 &2\ b^2 \\2\ a^2 & a^2\ +\ b^2\ -\ c^2 \end {pmatrix}\ \begin {pmatrix}j_P-j_Q\\ i_P-i_Q \end {pmatrix})
\ h_{\alpha }\left(i_P,j_P,i_Q,j_Q\right)\ +\ \left(j_U\ +\ j_P\ -\ j_T\right)\ h_{\beta }\left(i_P,j_P,i_Q,j_Q\right))
\)
\ +\ j_Q\ h_{\beta }\left(i_P,j_P,i_Q,j_Q\right)\ +\ h_{\gamma }\left(i_P,j_P,i_Q,j_Q\right)\)
En fait on peut définir neuf applications que l'on peut utiliser pour le produit scalaire et la distance entre deux points du plan
(je trouve qu'elles se mémorisent très bien)
En assimilant
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